Gravitationsverluste

Eine Mail in der ich gebeten wurde, die Reisezeit mittels Ionentriebwerken von einer LEO Bahn in den Lagrangepunkt L2 zu berechnen und ich dies ablehnen musste, weil es nicht mit einer einfachen Formel getan ist, sondern über eine Simulation gelöst werden muss, hat mich zum heutigen Thema gebracht. Den verantwortlich dafür sind die Gravitationsverluste. Sie sind ja eigentlich keine Verluste in dem Sinne, das Energie verloren geht. Sie bedeuten aber, das Energie in eine Form umgewandelt wird, die nicht so nützlich ist, wie wir das gerne hätten.

Gravitationsverluste gibt es bei jeder Arbeit in einem Gravitationsfeld. Ich will das mal an zwei Beispielen verdeutlichen, die auch praktisch die wichtigsten sind. Das erste ist der Aufwand einen Orbit zu erreichen. Nehmen wir mal an, wir hätten eine Erde ohne Atmosphäre. Wir wollen auf dieser nun eine 200 km hohe Kreisbahn erreichen. Am geschicktesten ginge das mit einem Impuls: Eine Railgun beschleunigt z.B. einen Satelliten ganz schnell und er erreicht im Bruchteil einer Sekunde eine hohe Geschwindigkeit. Beschleunigen wir auf 7912 m/s, so haben wir eine Kreisbahn in 0 km Höhe. Da das wegen der Berge und Hügel hinderlich ist, beschleunigen wir auf 7967 m/s und erreichen eine elliptische Bahn mit einem erdfernsten Punkt von 200 km Höhe. Dort angekommen (nach einem halben Umlauf) haben wir nur noch eine Geschwindigkeit von 7724 m/s. Um eine Kreisbahn zu erreichen braucht man aber 7785 m/s – Beschleunigen wir um weitere 61 m/s, so haben wir die Geschwindigkeit die nötig ist, um eine 200 km hohe Kreisbahn beizubehalten.

Gegenüber den 7785 m/s die für eine 200 km Kreisbahn nötig sind, benötigten wir also 7966 + 61 = 8027 m/s. Das ist schon mehr als die 7784 m/s die wir aufbringen müssten, wenn wir mit einem Aufzug die Nutzlast gleich in 200 km Höhe aussetzen könnten. doch nun die Überraschung: Das ist nichts gegenüber den realen Verlusten eines Raketenstarts.

Denn unsere Erde hat eben kein Vakuum – In der Atmosphäre kann man nicht auf rund 8 km/s beschleunigen. Also muss eine Rakete erst mal vertikal beschleunigen, und die Nutzlast in 200 km Höhe bringen. Die vertikale Komponente der Bahn entspricht daher einem senkrechten Wurf mit einer Gipfelhöhe von 200 km. Gemäß der einfachen Formel S = 1/2 a*t² kann man auf t auflösen und die Geschwindigkeit die erreicht werden muss, ist dann a*t, wobei a in unserem Falle g = 9.81 m/s ist. Man erhält dann für v= 1401 m/s. Das ist bedeutend mehr als die 243 m/s, die beim Fall ohne Atmosphäre anfallen würden (8027 m/s-7784 m/s)

Noch schlimmer: Das ist die Betrachtung bei einem Impuls, also wie wenn eine Kanone abgefeuert wird. Bei einer realen Rakete dauert es einige Minuten bis diese Geschwindigkeit erreicht wird und während der ganzen Zeit zieht die Gravitationskraft nach unten. Wenn unsere Rakete mit weniger als 1 g starten würde, dann käme nicht einmal von der Startplattform weg. Wirksam ist nur der Überschuss zu 1 g. Da die Beschleunigung durch den geringer werdenden Treibstoff aber immer größer wird, wird dieser immer größer. Von der Logik her sollte man mit hoher Beschleunigung starten. Da diese aber mit leerenden Tanks immer stärker ansteigt, überschreitet sie rasch ein Maß, bei dem die Nutzlast sehr hohen Belastungen ausgesetzt wird und auch die Strukturen sehr massiv sein müssen. Als Optimalwert gilt daher eine Startbeschleunigung von 1.6 g. Das gewährleistet, dass die Spitzenbeschleunigung im Bereich von etwa 5-6 G liegt. Raketen die langsam beschleunigen brauchen eine höhere Geschwindigkeit um einen Orbit zu erreichen. Raketen die schnell beschleunigen, wie reine Feststoffraketen z.B. nur wenig. Der Mehraufwand liegt zwischen 1200 und 2400 m/s. Wobei am unteren Ende die Scout und die ersten Atlas/Thor Versionen liegen (ohne große Oberstufen) und am oberen Ende die Saturn V (langsame Beschleunigung) und die Ariane 5 (wegen des zu geringen Schub des Vulcain – er beträgt nur noch 0.7-0.8 g nach Abtrennung der Booster).

Teil 2: Nun kommen wir zu den Ionentriebwerken: Was passiert in einer Erdbahn? Man könnte meinen, nun wären die Probleme gelöst. In einer Erdumlaufbahn kann ja der Satellit nicht mehr herunterfallen. Ist es Wurst wie ich von einer 200 km Bahn in eine 36000 km GSO Bahn komme? Äh nein! Nehmen wir zuerst mal das Extrembeispiel: Wir wollen die Erde verlassen. Das könnte man auch interpretieren als den Transport von einer niedrigen Kreisbahn (200 km Bahn v= 7784 m/s) auf eine unendlich weite Kreisbahn (v=0 m/s). Wie jeder weiß benötigt man dazu die Fluchtgeschwindigkeit die ?2 * Kreisbahngeschwindigkeit ist, also rund 11009 m/s. Das entspricht der doppelten Energie. Man könnte es auch anders sehen: Die Geschwindigkeit von 7800 m/s wird auf 0 reduziert. Das ist auch die doppelte Energie (einmal aufgebracht und einmal vernichtet). In Geschwindigkeiten aber ist es nicht derselbe Term, da gilt: Die Energie ist proportional v². Im einen Fall sind es zusätzliche 3235 m/s (11009-7784) und im zweiten Fall sind es 7784 m/s.

Wenn mit einem sehr schubschwachen Antrieb nun die Bahn laufend angehoben wird, dann gilt der zweite Tatbestand. Der Grund dafür liegt, dass es in einem Gravitationsfeld zwei Energieformen gibt: Die Potentielle Energie – Ein Körper der angehoben wird hat ein höheres Energieniveau (gehen sie einfach mal in den 8 sten Stock mit der Treppe und Sie wissen was ich meine) und die kinetische Energie in Form der Bewegung. An letztem ist man bei Satellitenbahnen interessiert. Je länger ein Antrieb arbeitet, desto länger tut er dies aber im Gravitationsfeld und desto mehr potentielle Energie müssen wir aufwenden. Das ist der Grund warum Ionentriebwerke eine höhere Energie erreichen müssen als chemische Treibwerke. Sie zu berechnen ist nicht mehr mit einfachen Formeln möglich. Ich mache daher bei Ionentreibwerken nur eine Abschätzung indem ich den „Worst Case“ Fall ansetze. Und ich beschränke mich auf die berechenbaren Brennzeiten und den Treibstoffverbrauch, nicht die Reisezeiten.

Das gilt übrigens auch für Satellitentriebwerke und Oberstufen. Die EPS Oberstufe der Ariane 5 hat z.B. eine sehr lange Brennzeit durch den geringen Schub und steigt daher in der Bahn sehr weit hoch, während sie brennt. Ein Teil der Brennzeit findet daher in größerer Höhe statt – dafür wird Hubarbeit geleistet. Als Folge benötigt eine Ariane 5 ES eine um 105 m/s höhere Geschwindigkeit um den GTO Orbit zu erreichen als die ESC-A Version mit höherem Schub und geringerem Ansteigen in der Bahn. Raketen, welche einen höheren Orbit nicht mit einem Zwei-Impuls Manöver erreichen können (weil die Oberstufe nicht wiederzündbar ist) müssen auch Hubarbeit aufbringen: Das war der Grund warum die Nutzlast der Ariane 4 für sonnensynchrone Bahnen nicht viel höher war als bei GTO Bahnen: Sie mussten direkt eine 800 km Bahn erreichen und nicht direkt über den Zwischenschritt 200 km Parkbahn. Während letztere 300 m/s mehr gegenüber der 200 km Bahn erforderlich macht, sind es beim direkten Aufstieg 1400 m/s – also rund 1100 m/s mehr!

So gesehen spricht doch alles für eine Railgun – wenn nur die Satelliten es aushalten würden. Oder für im Schub regelbare Triebwerke – wenn diese nur nicht so viel teurer wären.