Nix mit Google-Rätsel 1
Also ich greife mal die Idee auf, ein Rätsel zu stellen wo man was rechnen oder wissen muss und nicht so einfach nachschlagen kann. In der Hoffnung das sich jemand selbst mit der Frage und ihrer Lösung beschäftigt, bevor ich auflöse. Ich hoffe mal auch mein Titel bewahrheitet sich und das kann man nicht so einfach nachschlagen.
Gegeben ist die Saturn V mit 5 Triebwerken des Typs F-1 in der ersten Stufe. Die oberen Stufen sollen im folgenden nicht betrachtet werden. Wie würde sich die Nutzlast entwickeln, wenn man sukzessive immer mehr Triebwerke in die erste Stufe einbauen würde (unterstellt es ginge, notfalls neben der Stufe angebracht), also 6, 7, 8 …. F-1 Triebwerke?
Natürlich interessiert nicht nur die Lösung an sich, sondern auch die theoretische Begründung die bitte mitgeliefert wird. Wir wollen ja alle etwas in diesem Blog lernen oder nicht?
Gemäß Raketengrundgleichung ( http://www.bernd-leitenberger.de/raketengrundgleichung.shtml ) bleibt Ve gleich, der Logarithmus wird aber aufgrund des zusätzlichen Gewichts kleiner. Allerdings sind die Gravitationsverluste kleiner. Durch die größere Anfangsbeschleunigung wird die Dynamische Belastung in der unteren Atmossphäre größer und die struktuelle Belastung sowieso.
Ergebniss: Falls es die Saturn V-super überhaupt bis zum Brennschluss S-IC schafft, ist sie infolge weniger Gravitationsverluste schneller:
Raketengrundgleichung
v = ve*ln(Mv/Ml)
Orginal:
Impuls : 2600 m/s (Meereshöhe)
Vollmasse : 2900 t (gerundet)
Masse bei Brennschluss S-IC : 749 t (gerundet)
V = 2600 * ln(2900/749) = 3519 m/s
gedopte Saturn V-8, Gewicht F-1 Triebwerk 8,36 t, plus 3 Triebwerke, 25 t
v = 2600 * ln(2925/774) = 3456 m/s
abzuziehen sind Luftreibungs- und Gravitationsverluste
Gravitationsverluste:
Brenndauer 5 Triebwerke: 150 sec
Brenndauer 8 Triebwerke: 94 sec
Die Berechnung hab ich leider auf deinen Seiten noch nicht gefunden. Ich vermute mal:
(Gilt natürlich nur für senkrechten Anteil der Geschwindigkeit)
150 s * 9,81 m/s² = 1470 m/s
94 s * 9,81 m/s² = 922 m/s
Gewinn: 548 m/s
abzgl. Verlust durch höhere Masse (63 m/s)
Geschwindigkeitsgewinn ca 485 m/s
Den Einfluss der Luftreibung und des Luftdrucks auf die Ausströmgeschwindigkeit kann ich leider nicht berechnen, ebenso das Gewicht der zusätzlichen Triebwerksaufhängungen. Die Beschleunigung wäre auf jeden fall zu viel für eine menschliche Besatzung.
Und jetzt seh ich gerade meinen Fehler, Du willst ja wissen, wieviel Nutzlast man draufpacken könnte. Also die Gleichung umstellen um rauszufinden, wieviel ich auf Ml draufpacken kann, um v um ca 485 m/s zu reduzieren. Das darf jetzt der nächste 😉
Es reicht eine qualitative Lösung (quantitativ ist sie ohne Konstruktionsunterlagen nicht zu lösen), dafür aber mit der korrekten Begründung.
Ich habe mit meiner völlig eingerosteten Mathematik mal versucht, Bernies Ansatz zu Ende zu bringen. Die SIVB bringt normalerweise noch 845m/s für das Erreichen eines Orbits auf. Setzt man das mit der Ausströmgeschwindigkeit von 4180m/s und der Vollmasse plus Nutzlast (insgesamt 157805kg) in die Raketengrundgleichung ein, so erhält man eine „Leermasse“ von ca. 128900kg. Der Treibstoffverbrauch beträgt also 28905kg.
Da die SIC mit 8 Triebwerken jetzt aber zusätzliche 485m/s aufgebracht hat, benötigt die SIVB nur noch 360m/s für einen Orbit. Diese Geschwindigkeit nach obigem Schema in die Raketengrundgleichung eingesetzt ergibt einen Treibstoffverbrauch von 13005kg.
Der gesparte Treibstoff kommt in der dritten Stufe direkt der Nutzlast zugute, eine 8-F1 Variante der Saturn 5 hätte also etwa 15,9t zusätzliche Nutzlast für den Parkorbit.
Da das alles wahrscheinlich voller Fehler ist, freue ich mich aus der Korrektur was zu lernen. 🙂
Die Rechnungen haben einen Fehler: Zusätzliche Triebwerke bedeiten auch zusätzliches Gewicht, und das wurde nicht berücksichtigt. Dazu kommt dann auch noch die Triebwerksaufhängung und eine verstärkte Struktur der ganzen Stufe, um die Belastung durch die höhere Beschleunigung auszuhalten. Rein von der Raketengrundgleichung her würde die Nutzlast also SINKEN. Ob das durch die geringeren Gravitationsverluste ausgeglichen werden kann ist fraglich.
Ganz anders würde es aussehen, wenn zu den zusätzlichen Triebwerken auch mehr Treibstoff kommt. Durch längere Tanks wäre das durchaus möglich. Dann würde die Nutzlast wirklich steigen.
Das zusätzliche Triebwerksgewicht hat bernie doch berücksichtigt:
> gedopte Saturn V-8, Gewicht F-1 Triebwerk 8,36 t, plus 3 Triebwerke, 25 t
Ich habe mich ja sowieso dadurch aus der Affäre gezogen, dass ich nur ab der dritten Stufe weitergerechet habe, wo keine athmosphärischen und kaum Gravitationsverluste zu berücksichtigen sind.
Wäre meine Rechnung ansonsten eigentlich richtig gewesen?
Warum schaut ihr nicht bei der offiziellen auflösung nach?
http://www.bernd-leitenberger.de/blog/2010/12/10/nix-mit-google-raetsel-2/