Bahnberechnungen Teil 1: Geschwindigkeiten und Orbitänderungen
Ich habs zwar schon mal ausführlich in meiner Website, aber ich schneide es mal im Blog an, auch weil ich dann wieder einen kleinen Füller habe. Das wichtigste zuallererst: Da alle Bahnen im dreidimensionalen Raum verlaufen, sind in Wirklichkeit alle Manöver Geschwindigkeitsvektoren, die sich zu den Bewegungsvektoren addieren. Ohne genaue Kenntnis des Bewegungsvektors und des Geschwindigkeitsvektors ist so die Bahn nicht bestimmbar. Es gibt nur eine Ausnahme: Wenn beide Vektoren in derselben Richtung liegen, also man in die Flugrichtung beschleunigt oder abbremst. Auf diesen Spezialfall, der aber trotzdem der häufigste ist, wollen wir uns konzentrieren.
Die Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt x in einer Umlaufbahn ist berechenbar nach:
v=Sqrt(GM × ((2 ÷ x)-(1 ÷ Halbachse))
Sqrt: Quadratwurzel
x: Position in m (gerechnet vom Erdmittelpunkt aus)
GM: Produkt aus Gravitationskonstante und Masse der Erde 3.987×1014. m³/s
Halbachse: (Kleinster Abstand der Bahn + größer Abstand der Bahn)/2 (jeweils gerechnet zum Erdmittelpunkt in Metern).
Für eine Kreisbahn ist bei jeder Position x die Geschwindigkeit gleich. Bei einer elliptischen Bahn ist sie am höchsten beim erdnächsten Punkt der Bahn und am niedrigsten beim erdfernsten Punkt. Nehmen wir die Berechnung mit einem mittleren Erdradius von 6371000 m für einen GTO Orbit (200 x 35943 km) Dann beträgt die Geschwindigkeit im erdnächsten Punkt der Bahn 10242 m/s und im erdfernsten sind es 1592 m/s (die Berechnungen erfolgen bei mir mit einem Programm mit genauen, nicht gerundeten Werten, so können ihre Resultate leicht anders sein).
Gegenüber den Werten für kreisförmige Bahnen (200 km kreisförmig und 35943 km kreisförmig) fallen die Unterschiede auf:
| GTO-Bahn | Kreisbahn | |
|---|---|---|
| 200 km Höhe | 7784 m/s | 10242 m/s |
| 35943 km | 3069 m/s | 1592 km/s |
Das gibt vor wie man zwischen zwei Bahnen die Übergänge macht. Nehmen wir an, wir befinden uns zuerst in einer Kreisbahn in 200 km Höhe. Beschleunigt man nun hier um 2399 m/s (die Differenz zu 10242 m/s), so weitet sich die Bahn auf und erreicht ein Apogäum in 35943 km Höhe. Dort angekommen ist man zu langsam. Beschleunigt man nun um 1477 m/s, so erreicht man die Kreisbahngeschwindigkeit und die Bahn wir kreisförmig. Bei kleineren Veränderungen, sagen wir nur 500 m/s wird bei einer Zündung im Apogäum das Perigäum angehoben und bei einer Zündung im Perigäum das Apogäum angehoben. Will man die Werte erniedrigen, so muss man gegen die Bewegungsrichtung zünden. Alle anderen Zeitpunkte bewirken, dass eine Zündung immer Apogäum und Perigäum gleichzeitig beeinflussen.
Diese Gesetzmäßigkeit kann man auch bei Stufen sehen, die nach Erreichen der Kreisbahngeschwindigkeit noch sehr lange arbeiten. So was ist z.B. bei der Aestus-Oberstufe der Fall gewesen. Sie steigen dann durch das Aufweiten der Bahn schon während der Zündung in die Höhe und dieser Betrieb in größerer Erdferne führt zum Anheben der Perigäums. Das ist energetisch unerwünscht, da es Hubarbeit ist die für den Treibstoff mit verrichtet wird. Die Aestus-Oberstufe hatte so GTO-Bahnen mit einem Perigäum von 500 bis 600 km Höhe. Bei der ESC-A sind es nur 250 km Höhe und bei der alten Ariane 4, bei der nur ein kleiner Teil der Betriebszeit der Oberstufe für das Aufweiten der Ellipse entfiel, waren es nur 200 km.
Eine interessante Tatsache ist, dass die beiden Zündungen im Apogäum und Perigäum zusammen nur 3876 m/s Geschwindigkeit zum Addieren sind, während die Differenz in den Kreisbahngeschwindigkeiten 4715 m/s beträgt. Dieser „Zweiimpulsübergang“ ist also energetisch günstiger als der direkte Transfer, der schon wegen der langen Flugzeit von 5 Stunden bis zum Apogäum problematisch ist.
Raketen die nicht diese Zweiimpulstransfers durchführen können wie die Ariane 1-5 (mit Ausnahme der Ariane 5 ES), weil die Oberstufe nicht wiederzündbar ist, haben daher oft starke Nutzlasteinbußen, wenn eine höhere Bahn erreicht werden soll. Denn dann muss die Aufstiegsbahn so gelegt werden, dass die letzte Stufe auf der Zielbahnhöhe noch arbeitet, sonst erreicht man keine kreisförmige Bahn in dieser Höhe. Ansonsten wird um die Hubarbeit für den Treibstoff zu begrenzen die Höhe auf ein Maß begrenzt bei dem die Nutzlast innerhalb weniger Orbits nicht mehr in die Atmosphäre eintritt also meistens >160 km aber <250 km.
Übermorgen geht es dann an Inklinationsänderungen.
Hallo Bernd,
in deiner Tabelle hast du asuversehen die Werte zwischen der GTO-Bahn und Kreisbahn vertauscht.
Die Geschwindigkeitsänderung erfolgt ja nicht exakt in einem Punkt, sondern stetig auf einem kleinen Abschnitt der Bahn. Ist das in der Praxis vernachlässigbar, oder muss man das bei der Berechnung berücksichtigen?
Im vereinfachten Fall kann die Geschwindigkeitsänderung als Impuls angenommen werden. Für eine erste Abschätzung des Treibstoffbedarfes reicht das meistens aus. Aber je länger ein Triebwerk betrieben werden muss um diese Geschwindigkeitsänderung zu erreichen desto höher werden die Verluste. Bei schubschwachen Triebwerken darf es nicht vernachlässigt werden. Das trift in erster Linie auf elektrische Triebwerke zu.
> GM: Produkt aus Gravitationskonstante und Masse der Erde 3.987×1014. m³/s
Sollte wohl eher m³/s² heißen. Sonst kommt als Maßeinheit für die Geschwindigkeit m/Sqrt(s) raus.