Die Lösung für ein überflüssiges Problem 3: Wie lange braucht man von unterschiedlichen Himmelskörpern in den Orbit

In der losen Reihe einige physikalische Fragestellungen durchzurechnen die sich wohl niemand gestellt hat heute ein weiteres Problem. Auf das kam ich als ich mich mal fragte wie lange man wohl von der Marsoberfläche in einen Orbit braucht. Nun kann man die Kreisbahngeschwindigkeit eines niedrigen Orbits leicht errechnen und klar ist dass sie bei Mond und Mars kleiner ist als auf der Erde. Aber die Apolloastronauten starteten nicht mit 1,2 g, das ist die Mindestbeschleunigung irdischer Raketen um nicht zu hohe Gravitationsverluste zu haben und das Gefährt gut steuern zu können, sondern weniger weil das Aufstiegstriebwerk 19,4 kN Schub hatte und die Aufstiegsstufe trocken 4,5 t wog mit etwa  4 m/s. Daraus dachte ich mir kann man doch eine interessante Fragestellung bauen:

Angenommen mit beschleunigt von einem Himmelskörper mit konstant 2,0-facher lokaler Schwerebeschleunigung (auf der Erde 1 g = 9,81 m/s²), wie lange dauert es bis man einen Orbit bei Merkur, Erde, Mond und Mars erreicht und welchen Zusammenhang gibt es mit Dichte und Radius eines Himmelskörpers?

Fangen wir mit den Formeln an. Die Schwerebeschleunigung eines Himmelskörpers S an der Oberfläche berechnet sich nach:

S = g * M / r²

dabei ist:

M : Masse des Himmelskörpers in Kg

g : universelle Gravitationskonstante 6,6726×10^-11 m³/kg*s²

r : Radius des Himmelskörpers in Meter

Die Kreisbahngeschwindigkeit in einem Orbit v berechnet sich nach:

v = Quadratwurzel( g * M / r)

Bleibt noch die Masse, Da uns nicht der innere Aufbau des Himmelskörpers interessiert, sondern nur seine Masse, können wir mit der Dichte und dem Volumen arbeiten:

 M = d * 4/3 * π * r³

Machen wir zuerst mal ein Gedankenexperiment. Wir hätten eine Planetenbaumaschine und würden auf einen existierenden Himmelskörper weitere Materie hinzupacken, dass der Radius doppelt so hoch ist. Die Dichte sollte gleich bleiben.

Die Masse würde sich hier, weil sich nur r ändert um 2³ ansteigen (8), der Radius natürlich verdoppeln.

v würde dann ansteigen um Quadratwurzel(8/2) also um den Faktor 2, alle anderen Faktoren bleiben Konstant.

S würde ansteigen um 8 / 2² also ebenfalls den Faktor 2

Das bedeutet bei gleicher Dichte braucht man immer die gleiche Zeit um in einen Orbit zu kommen.

Nun haben Himmelskörper unterschiedliche Dichten. In unserem Sonnensystem liegen die Extreme bei 1.0 bei einigen Eismonden von Saturn und 5,5 g/cm³ bei der Erde. Bei einer unterschiedlichen Dichte ändert sich der Radius nicht, sondern nur die Masse. Da S linear von M abhängt, steigt bei steigender Dichte die Schwerebeschleunigung linear an. dagegen steigt v mit der Wurzel an, also langsamer. Je dichter ein Körper ist, desto weniger lang braucht man um in einen Orbit zu kommen wenn man konstant mit zweifacher Schwerebeschleunigung startet.

So zum Abschluss noch einige Werte für Himmelskörper in unserem Sonnensystem:

 

Himmelskörper	Masse	Radius	V Kreisbahn (0 km)	Schwerebeschleunigung	Zeit um Orbit zu erreichen	Dichte
Erde	5,98E+024	6371	7911	9,82	402,651	5,52
Mond	7,35E+022	1738	1680	1,62	517,313	3,34
Mars	6,39E+023	3394	3544	3,70	478,784	3,90
Merkur	3,30E+023	2439	3006	3,70	405,731	5,43
Jupiter	1,90E+027	71400	42127	24,86	847,437	1,25
Saturn	5,68E+026	60330	25073	10,42	1203,083	0,62
Uranus	8,63E+025	25600	14999	8,79	853,398	1,23
Neptun	1,02E+026	24760	16614	11,15	745,135	1,61
Pluto	1,25E+022	1155	850	0,63	679,580	1,94
Phobos	1,07E+016	11,1	8	0,01	691,368	1,87
Io	8,94E+022	1816	1812	1,81	500,988	3,56
Europa	4,80E+022	1563	1431	1,31	545,934	3,00
Ganymed	1,48E+023	2638	1935	1,42	681,716	1,92
Kallisto	1,08E+023	2410	1726	1,24	698,139	1,84
Mimas	3,749E+19	198,30	112	0,06	882,737	1,15
Enceladus	1,08E+020	252,2	169	0,11	745,223	1,61
Titan	1,35E+023	2575	1870	1,36	688,369	1,89
Triton	2,14E+022	1353	1028	0,78	658,387	2,06

Deutlich wird, dass es um so länger dauert einen Orbit zu erreichen je niedriger die Dichte. Bei Himmelskörper mit annähernd derselben Dichte (Erde/Merkur, Neptun/Enceladus) braucht man dieselbe Zeit, trotz teilweise enorm unterschiedlicher Größe.

Das ist natürlich nur eine theoretische Größe denn einige Körper haben keine feste Oberfläche oder der menschliche Körper würde die Beschleunigung nicht aushalten. Auf der anderen Seite kann es bei kleinen Körpern auch Probleme geben. Nehmen wir an wir landen auf Phobos. Wenn wir auf der Erde den Fuß nur leicht anheben um 3 cm um zu „schleichen“ so ist das eine Kraft von 0,3 N pro Kilogramm Körpergewicht. Bei Phobos würde das ausreichen um einen 50 m hohen Sprung zu machen der fast zwei Minuten dauert.

Auf Mimas würde ein Badminton Ball (die schnellste bekannte Ballsportart) immer noch einen Orbit erreichen und der Mond ist immerhin fast 400 km groß….