Die Lösung für ein überflüssiges Problem: Zu den Trojanern

Letzte Woche hat die NASA zwei neue Discovery-Class Missionen genehmigt: Lucy und Psyche. Beide Raumsonden werden Asteroiden besuchen. Während dies bei Psyche der gleichnamige Asteroid des Hauptgürtels ist, wird Lucy die Trojaner und Achäer besuchen. Ich dachte mir, das ist eine gute Gelegenheit mal wieder etwas Basiswissen zu vermitteln und etwas über die Erreichbarkeit der Körper zu schreiben.

Zuerst einmal zu den Trojanern und Achäer. So werden zwei Gruppen von Asteroiden genannt, welche die Sonne in etwa Jupiters Entfernung umrunden, aber Jupiters Bahn vorauseilen oder nachfolgen.

Dazu noch etwas tiefer gehend in die Bahnmechanik. In einem System aus zwei massereichen Körpern hat ein dritter masseärmer Körper im Normalfall keine geologisch stabile Umlaufbahn. Er wird entweder auf einen der beiden Körper fallen oder aus dem System vertrieben werden. Das ist das klassische Dreikörperproblem. So haben die Planeten ihre Zonen um ihre Entstehung leergeräumt und es gibt im inneren Sonnensystem nur wenige Asteroiden. Beim Hauptgürtel war es sogar so, dass Jupiter die Entstehung eines weiteren Planeten verhinderte.

Stabile Punkte im Dreikörpersystem

Es gibt von der Regel jedoch einige Ausnahmen. Das sind 5 mathematisch stabile Zonen, genannt Lagrangepunkte oder Librationspunkte. Nennen wir den massereichsten Körper1 und den zweitmassereichsten Körper2, dann liegt L1 auf der Verbindungslinie Körper1 – Körper2, zwischen Körper1 und Körper2, L2 auf derselben Linie, aber außerhalb von Körper2. Der Punkt L3 ist auf der gleichen Bahn wie Körper2 180 Grad von Körper2 entfernt und L4 und L5 jeweils auf der Umlaufbahn von Körper2, aber 60 Grad vorauseilend oder nachfolgenden.

Bis auf L3 hat man im System Erde-Sonne-Raumsonden schon Sonden stationiert:

• L1: Sonnenbeobachtungssonden oder Sonnensturmvorwarnsonden wie SOHO, ACE, ISEE-3, DSCOVR, Genesis
• L2: Astroteleskope für das IR, da der Erdschatten zeitweise die Sonneneinstrahlung reduziert wie Herschel und Planck
• L4 und L5: Sonnenbeobachtungssonden Stereo
• Lediglich L3 wird nicht genutzt, weil er von der Erde aus immer hinter der Sonne steht und os keine direkte Funkverbindung möglich ist.

Die Griechen waren die ersten Himmelskörper, die man entdeckte, die sich in einem Librationspunkt befanden. Später kamen dann noch die Trojaner hinzu, die hinter Jupiter fliegen. Voyager entdeckte in den Achtziger Jahren des letzten Jahrtausends dann im Saturnsystem noch Minimonde in den L4 und 5 Punkten. Himmelskörper, die sich in den anderen drei Librationspunkten befinden, hat man bisher nicht entdeckt, dafür aber Körper in den Librationspunkten L4 und L5 um Mars, Uranus und Neptun.

Man benannte die beiden Gruppen nach den beiden Parteien in Homers Ilias. Sie erhalten auch die Namen nach den Akteuren aus der Ilias. Anders als diese kommen sie sich aber nie in die Quere. Der größte Planetoid, Hektor ist immerhin 190 x 370 km groß.

Klasssicher Hohmann-Transfer

Lucy ist nun die erste Sonde die zu beiden Gruppen aufbricht. Viel ist über die Mission bisher nicht bekannt. Das Diagramm des Orbits zeigt einige Ungewöhnlichkeiten. Anstatt Ellipsen sieht man Slingshot- und Abbruchbahnen. Ich denke, dass es mindestens einen Erdvorbeiflug gibt. Dafür spricht die erneute Passage der Erde. Davor gibt es ein Deep-Space Manöver, erkennbar an der Spitze des Diagramms kurz nach dem Start im Südosten. Der Slingshot nach Passage der Trojaner kann auf eine Jupiterpassage oder ein weiteres Antriebsmanöver hindeuten.

In der folgenden Berechnung will ich mal die Erreichbarkeit der Trojaner anhand eines der besuchten Zeile erläutern. Der Asteroid 3548 Eurybates umkreist die Sonne in einer Bahn mit einem Perihel von 707 und einem Aphel von 845 Millionen km. (Charakteristisch für die Bahnen um die Librationspunkte ist, das es keine Kreisbahnen sind, sondern die Körper dort in Bögen, den Lissajous-Kurven den Punkt umkreisen.

Von der Erde aus würde eine Sonde gestartet nach der Vis-Viva Gleichung folgende Geschwindigkeitsänderungen:

[ Mill. km]	Kreisbahn-V1	Kreisbahn-V2	Reale Geschwindigkeit 1	Reale Geschwindigkeit 2	ΔV	Bemerkung
150,00 × 150,00 × 0,00 °	29.749,41 m/s	29.749,41 m/s	29.749,41 m/s	29.749,41 m/s		Ausgangsbahn
150,00 × 845,00 × 0,00 °	29.749,41 m/s	12.534,17 m/s	38.771,29 m/s	6.882,48 m/s	9.021,87 m/s	Apopunkt geändert
150,00 × 845,00 × 0,00 °	29.749,41 m/s	12.534,17 m/s	38.771,29 m/s	6.882,48 m/s	5.081,47 m/s	Peripunkt geändert
707,00 × 845,00 × 0,00 °					14.103,34 m/s	Gesamtänderung
Umlaufdauer Ausgangsbahn	1 Jahre	1 Tage	10 Stunden	20 Minuten	26,2 s
Umlaufdauer Zwischenbahn	6 Jahre	23 Tage	7 Stunden	59 Minuten	1,2 s
Umlaufdauer Endbahn	11 Jahre	296 Tage	21 Stunden	3 Minuten	56,8 s

Zusammen sind das 14,1 km/s. Das ist praktisch nicht heute chemisch zu machen. Für den ersten Teil kann man noch den Bonus der Erdgravitation ausnutzen, sodass es nur 14,3 km/s relativ zur Erdoberfläche sind. Doch die folgenden 5 km/s muss man chemisch oder durch Ionenantriebe aufbringen. Ionenantriebe gehen selbst mit modernsten Solarzellen heute noch nicht in Jupiters Entfernung. Die Leistung sinkt bei Eurybates um den Faktor 25 bis 30 gegenüber der erde ab, sodass ein Ionentriebwerk dort die Bahn nicht wesentlich ändern kann.

Mit Ionentriebwerken

Was man mit Ionentriebwerken machen könnte, wäre von der Erde aus zu Jupiter starten. Dazu würde man die Raumsonde in einen Sonnenorbit bringen und diesen mit Ionenantrieben anheben. Da diese lange arbeiten, steigt auch das Perhel an. Wie genau das hängt von der genauen Auslegung eines Ionenantriebs ab. Bei einer konservativen Auslegung komme ich z.B. bei 4 Jahren Betriebszeit auf eine Endbahn von 437 × 805 Mill. Km, bei 2 Jahren sind es noch 257 Millionen km. Dadurch reduziert sich die Geschwindigkeitsdifferenz auf 3,3 und 1,6 km/s. Das Letztere wäre mit chemischem Antrieb aufbringbar. Doch der Preis ist eine Missionsdauer von 5 ½ Jahren, bis man Eurybates erreicht. Lucy wird sogar 6 Jahre 3 Monate brauchen. Das wäre also eine Möglichkeit (Lucy, das zeigt das Diagramm, wird allerdings nicht in die Umlaufbahn um einen der beiden Körper einschwenken).

Swing-By an Jupiter

Die naheliegendste Möglichkeit ist es, Jupiter als Sprungbrett zu benutzen. Jupiter ist allerdings ein sehr großer Planet. Er beschleunigt die Sonde schon zu stark und über einen längeren Zeitraum, sodass es sehr schwer ist, Bahnen zu finden, bei denen auch das Aphel nicht stark ansteigt.

Es gibt hier viele Parameter zu optimieren. Ich habe mich entschieden, die Startgeschwindigkeit vorzugeben, und zwar 3.8530 m/s solar, das entspricht einer Bahn mit einem Aphel in 780 Millionen km Entfernung, 2 Millionen km hinter Jupiters Bahn. Dann würde eine Passage in 1321.000 km Entfernung die Sonde auf eine 514,97 × 1461 Millionen km Bahn umlenken. Hier ist zwar das Aphel sehr weit draußen (in Saturns Entfernung). Doch dafür sind die Geschwindigkeitsänderungen klein, da das Perihel recht hoch liegt. Ich errechne ein Δv von weniger als 1500 m/s. Aufgrund des hohen Aphels, bei dem wohl auch die solare Stromversorgung (wenn man kein Ionentriebwerk einsetzt), an die Grenze stößt, aber auch der langen Umlaufszeit von über 21 Jahren (die Bahn muss mindestens zur Hälfte durchlaufen werden, um das Aphel zu erreichen) ist diese Lösung aber unattraktiv.

Legt man als Kriterium fest, dass das Aphel nicht über 845 Millionen km Höhe rutschen darf, so kommt man beim klassischen Hohmanntransfer (Perihel in 150 Millionen km Entfernung) nur auf eine 219 × 845 Mill. Km Bahn mit einem ΔV von 3,921 km/s, wenn man die Startgeschwindigkeit absenkt, auf 38.500 m/s.

Es bietet sich an daher das Swing-By mit dem Ionenantrieb zu koppeln, weil er schon das Perihel anhebt. Es resultiert bei einer Passage in großzügigen 25,5 Millionen km Entfernung eine Bahn von 369 × 845 Millionen km. Die große Entfernung ergibt sich bei allen Passagen, denn wir wollen ja das Aphel nicht zu stark anheben. Das ΔV beträgt dann nur noch 2,20 km/s.

Eine zweite Möglichkeit sind Passagen an Jupiter die nicht abbremsen, sondern beschleunigen. Sie heben das Perihel auf Jupiters Bahn an und ergeben dann exzentrische Ellipsen mit hohem Aphel. Diese darf man aber nicht durchlaufen, sondern muss in 845 Millionen km Entfernung das Aphel wieder absenken. Das ist nicht optimal, doch ich habe es auch mal untersucht. Bei einer Passage 3,64 Millionen km vor dem Jupiter erhält man eine 707 × 1908 Millionen km Bahn. In 845 Millionen km Entfernung braucht man nun nur noch um 2620 m/s abbremsen, um in eine Umlaufbahn von Eurybates zu kommen (zumindest in die gleiche Bahn, aber eben nicht 60 Grad von Jupiter entfernt, dazu müsste man dann noch eine Driftbahn einschlagen.

Nachdem ich die grundlegenden Parameter bestimmt habe, habe ich dann noch etwas gefeilt.

Die optimale Route sähe also so aus:

• Ionenantrieb (17,71 W/kg Gesamtmasse ~ 17% Masse der Solarzellen an der Sonde) über 2 Jahre 90 Tage.
• Endbahn: 282 x 779 Millionen km Entfernung
• Erreichen des Jupiters nach 518 Tagen Freiflugphase
• Jupiter-Swingby in 34,5 Millionen km Entfernung. Endbahn 389,7 × 845 Millionen km.
• Freiflugphase bis in 845 Millionen km Entfernung: 266 Tage
• Bei Erreichen von 845 Millionen km Entfernung (Aphel) beschleunigen um 2006 m/s
• Endbahn 707 × 845 Millionen km

Die gesamte Missionsdauer betrüge bis hierher 1604 Tage, das sind fast 4 ½ Jahre.

Die Masse ist wegen der unbekannten Masse des Ionenantriebs schwer abzuschätzen. Nimmt man dasselbe Verhältnis von Antriebssystem und Treibstoff wie bei Dawn an, so macht dieser rund 30,2% der Startmasse aus. Der chemische Treibstoff macht dann weitere 35,8% aus, dazu kommen noch die Tanks und das Triebwerk für den chemischen Treibstoff. So verbleiben für die Sonde selbst nur rund 29% der Startmasse. Immerhin kann man sich die Solarzellen sparen, da die vom Ionenantrieb genutzt werden können. Die „kleinste“ US-Trägerrakete die Fluchtbahnen erreicht, ist die Atlas V, diese schafft in der 401 Version 3,3 t auf eine Fluchtbahn. Das ermöglicht immerhin eine respektable Sonde von 954 kg Gewicht. Das ist schwerer als Galileo oder Voyager. Klar mit Cassini kann man es nicht vergleichen.

Rein theoretisch gibt es, wenn man genügend Zeit hat, auch eine weitere Möglichkeit: Jupiter kann die Sonde in eine Bahn umlenken die einen ganzzahligen Teiler mit Jupiter Umlaufzeit hat. Da schon die Anfangsbahn die halbe Umlaufszeit von Jupiter hat, wäre die nächste Möglichkeit eine Bahn, bei der man 2/3 von Jupiters Umlaufzeit hat. Dies wäre z.B. eine bei der das Perihel in 410 Millionen km Höhe liegt und das Aphel in 778 Millionen km Entfernung. Das ist mit einer kleinen Bahnkorrektur machbar. Ein weiterer Vorbeiflug an Jupiter würde die Bahn dann weiter anheben. Ich habe diese Möglichkeit nicht untersucht, weil die gemeinsame Periode bei drei Jupiter-Umläufen also über 34 Jahren liegt.

Kurzum: Die Trojaner sind mit vertretbarem Aufwand erreichbar. Lucy hat eine andere Strategie: Sie wird die Trojaner nur besuchen. Wenn man eine Bahn von 150 × 800 Millionen km annimmt, dann beträgt die Relativgeschwindigkeit etwa 5-6 km/s relativ zu den Planetoiden. Das ist relativ wenig, aber die Körper sind auch klein, 4-110 km groß. Da dürfte selbst beim größten die Zeit zwischen Ausfüllen des Blickfeldes der Telekamera (sie soll von New Horizons übernommen werden) nur rund eine Stunde. Die kleineren Planetoiden dürften das nicht mal erreichen, weil man sie wahrscheinlich in sicherem Abstand passieren wird. Der müsste aber beim kleinsten Trojaner auf 800 km sinken, damit er das Blickfeld der Kamera überhaupt ausfüllt.