Die Größe von Oberstufen und ihr Schub

Vieles kann man mit der Raketengrundgleichung berechnen, aber manchmal führt sie einen doch in die Irre. Eine der Dinge, die dazu gehören, sind Masse und der Schub von Oberstufen. Aber ich erkläre erst mal das Problem.

Eine Rakete hat, bis sie die Bahn erreicht „Verluste“, klingt als Wort etwas blöd, aber hat sich sogar im englischen eingeprägte, dort wird von „losses“ geredet. Die Hauptverluste sind die Gravitationsverluste. Sie entstehen dadurch das damit eine Rakete einen stabilen Orbit erreicht sie erst einmal die Höhe erreichen muss in der dieser stabil ist, erst dann kann sie beginnen den größten Teil der Orbitgeschwindigkeit, die tangential zur Erdoberfläche zu erbringen ist aufzubringen. Das tut zum größten Teil die Oberstufe(n). Vorher muss sie vertikal beschleunigen, wobei die Endgeschwindigkeit in der Vertikalen so hoch sein muss das sie zumindest die Höhe erreicht, in der ein Orbit stabil ist, das sind etwa 160+ km. Diese Hubarbeit verringert zwar etwas die Orbitalgeschwindigkeit, aber nur wenig, sie ist daher ein Verlust.

Ein zweiter Verlust entsteht dadurch das während die erste Stufe das tut sie auch Treibstoff in diese Höhe transportiert, das heißt je schneller sie die vertikale Mindestgeschwindigkeit aufbaut desto geringer sind die Verluste. Beide zusammen werden im englisch unter „gravitational losses“ zusammengefasst,

Aus den beiden Aussagen ergibt sich, das die Verluste am kleinsten sind, wenn die Startbeschleunigung hoch ist. Ordnet man Raketen nach ihren Verlusten, so haben die kleinsten Feststoffraketen, dann folgen frühe Trägerraketen mit kleinen und schubstarken Oberstufen. Heutige Träger haben dagegen relativ hohe Verluste. Am hinteren Ende stehen dann Träger wie Ariane 5. In gewisser Weise korrespondiert das mit der Zeit die eine Rakete braucht den Orbit zu erreichen: eine Atlas oder Sputnik schaffte das in rund 300 s, eine Ariane 5 ECA braucht die doppelte Zeit dafür. Der Zusammenhang ist aber nicht linear, das heißt doppelte Zeit <> doppelte Gravitationsverluste.

Betrachtung der Erststufe

So gesehen wäre eine Erststufe mit einem hohen Schub also starker Startbeschleunigung besser. Es gibt aber zwei „Abers“. Das eine ist mathematisch leicht nachweisbar. Auch wenn eine Rakete nicht linear beschleunigt, richtet sich der Zusammenhang von Weg und Geschwindigkeit nach den bekannten physikalischen Formeln:

v = a * t

s = ½ a * t²

Nur ist a nicht konstant, sondern variabel. Es gilt aber auch, das bei gegebener Treibstoffmenge und spezifischem Impuls die Brennzeit t sich so ergibt:

t = Spez Impuls * Treibstoffmenge / Schub

Wenn nun der Schub steigt, so sinkt t ab, entsprechend sinkt die Brennschlusshöhe ab, allerdings weil a schneller ansteigt, denn von ihm wird ja immer g abgezogen, nicht so deutlich. Hier die Werte für eine Rakete mit ansonsten selben Daten und einem Startwinkel von 70 Grad:

Brenndauer [s]	Startbeschleunigung [m/s]	Gipfelhöhe [km]	Endgeschwindigkeit [m/s]
100 s	24,7	164,7	7.163
120 s	20,6	185,2	7.019
140 s	17,7	202,5	6.873
160 s	15,5	215,9	6.724
180 s	13,7	225,3	6.571
200 s	12,3	230,8	6.414

Man sieht: bei diesem Extremfall nimmt trotz niedriger Startbeschleunigung die Gipfelhöhe zu, obwohl die erreichte Endgeschwindigkeit um 700 m/s kleiner ist. Die theoretische Endgeschwindigkeit wäre übrigens 8008 m/s. Das heißt, es gab zwischen 650 und 1600 m/s Gravitationsverluste. Die schnellere Beschleunigung äußert sich also in kleineren Gravitationsverlusten. Aber der Brennschluss erfolgt bei niedriegr Beschleunigung in immer größerer Höhe.

Trotzdem wird man die Startbeschleunigung so niedrig wie möglich ansetzen, früher waren 1,25 g rund 12,3 m/s üblich, heute gibt es Raketen, die beschleunigen noch gemächlicher bis hinab zu 11 m/s. Warum? Nun wir könnten eine Rakete, die mit 1,5 g startet, nehmen und die Tanks der ersten Stufe so verlängern, das sie nur noch mit 1,25 g startet. Durch den Verbrauch des Treibstoffs wird sie dann irgendwann auch auf 1,5 g Beschleunigung kommen, dann hat sie aber schon eine gewisse Höhe erreicht (steigert den Schub durch geringeren Luftwiderstand und damit den spezifischen Impuls) und eine gewisse Geschwindigkeit. Die kommt nun zu dem Wert von 1,5 g hinzu, das heißt, bei Brennschlussende ist sie schneller. Dafür ist das Trockengewicht etwas höher, da die Tanks ja auch Gewicht darstellen, aber in der Summe bleibt ein deutliches Plus, zumal Tanks viel billiger als Triebwerke sind. Nur wenn ich die Möglichkeit habe, den Schub ohne größere Kosten zu variieren, wie das bei Feststoffraketen der Fall ist, lohnt es sich schnell zu beschleunigen, wobei Startbeschleunigung und Spitzenbeschleunigung zusammenhängen, zu schnell sollte es also auch nicht sein. Bei hoher Startbeschleunigung reicht die Zeit nicht aus, die benötigte Mindesthöhe zu erreichen. Reine Feststoffraketen haben daher Freiflugphasen, in denen die Restrakete weiter steigt. Allerdings verliert sie dabei an Geschwindigkeit. Freiflugphasen sind daher auch nicht optimal.

Aus der Modellierung kann ich als Erfahrungswert einbringen, das eine Rakete mindestens 300 s benötigt um ohne Freiflugphase einen Orbit zu erreichen. Träger, die darunter liegen, kommen meist nicht ohne Freiflugphase aus. Auch eine moderne Feststoffrakete wie die Vega hat eine, allerdings ist die durch die Verlängerung der Brennzeit der ersten Stufe deutlich kürzer geworden.

Dass die Brennzeit wichtig für die Höhe der Verluste ist, bedeutet auch, das Erststufen mit hochenergetischen Treibstoffen, die dann natürlich länger brauchen, um die gleiche Treibstoffmenge zu verbrennen, höhere Gravitationsverluste haben als Stufen mit festen Treibstoffen oder mittelenergetischen Treibstoffen.

Als Lösung aus dem Dilemma gibt es bei einigen Trägern die Möglichkeit den Schub zu drosseln, das verlängert die Brennzeit. Das wird z.B. bei der Atlas V so eingesetzt. Die Schubdrosselung setzt erst spät ein und ist meinst an eine Spitzenbeschleunigung gekoppelt, z.B. um sie bei maximal 5 g zu halten.

Die ideale Erststufe würde in der späteren Orbithöhe Brennschluss haben und dann würde die Oberstufe tangential zur Erdoberfläche zünden. Das Gipfelpunkt und Brennschluss zusammenfallen (das ist bei einem konstanten Winkel unmöglich) erreicht man, indem man die Rakete langsam aus der Vertikalen in die Horizontale umlenkt, sodass ein immer kleinerer Teil der Beschleunigung vertikal wirkt und sobald dieser 1 g unterschreitet, die Vertikalbeschleunigung und damit Vertikalgeschwindigkeit wieder abnimmt. Einige frühe Raketen flogen auch genau dieses Profil, so die Scout, Diamant oder Black Arrow. Da die Oberstufe mit Nutzlast wieder fällt, sobald sie diesen Gipfelpunkt der Bahn erreicht hat, ist eine möglichst kurze Brennzeit der Oberstufe von Vorteil. Auch das finden wir bei vielen frühen Oberstufen so der Altair oder den Sergeants.

Bei einer schweren Oberstufe geht das aber meistens nicht. Die erste Stufe hat dann Brennschluss, lange bevor sie die benötigte Orbithöhe erreicht, auch weil die Oberstufe eine zusätzliche Masse darstellt und die die Spitzenbeschleunigung absenkt. Dann muss sie einen „Beschleunigungsvorrat“ schaffen – die Oberstufe wird von der Erde angezogen, baut zuerst die noch vorhandene vertikale Geschwindigkeit ab und dann sinkt ihre Bahn wieder ab. Damit sie nicht zu tief sinkt, muss die erste Stufe sie auf eine Bahn schicken, deren Gipfelpunkt deutlich höher als die spätere Orbithöhe ist, das kostet Treibstoff. Als Beispiel habe ich hier die Bahn der Ariane 5 ECA für eine GTO-Bahn wiedergegeben. Der „Buckel“ ist deutlich zu erkennen. Die EPS ist so schubschwach, dass sie für LEO Missionen nicht einmal voll betankt werden darf, dann werden nur 50 % des Treibstoffs zugeladen. Der Anstieg am Ende liegt daran, das sobald die Oberstufe die Orbitalgeschwindigkeit erreicht hat sie nicht mehr absinken kann, nun hat sie Schubüberschuss und steigt so wieder an, weil auch ihr Orbit ansteigt. Für die Modellierung sind daher GTO-Bahnen einfacher. Die rote Linie „Sattelhöhe“ ist eine Nebenbedingung der Simulation, sie gibt eines Mindesthöhe auf die die Oberstufe durch den geringen Schub nicht unterschreiten darf-

Aber wie schubstark sollte nun eine Oberstufe sein? Das kommt wirklich auf den Einzelfall an. Es hängt von der genauen Auslegung der Rakete ab. Im Allgemeinen ist eine schubstärkere Oberstufe besser als eine schubschwache (bei gleicher Masse). Es kommt aber auch auf die Masse an. Nach der Raketengleichung kann man als Faustregel formulieren (gilt wenn erste Stufe und zweite Stufe ungefähr gleichen spezifischen Impuls haben):

Masse erste Stufe / Masse Zweiter Stufe ~ Masse Zweite Stufe / Nutzlast

Nehmen wir die Atlas mit rund 129 t Startmasse und einer Nutzlast von (geschätzt) 3 t für einen Orbit bei einer mittelenergetischen Stufe. Dann kommt man auf den Teiler 6,5. Die Oberstufe sollet also rund 19 t wiegen. Berechnet man die Nutzlast (bei kontanten Verlusten) für verschieden schwere Oberstufen, so wird man auch die höchste Nutzlast in dieser Region finden.

In der Simulation ist es nicht ganz so einfach. Die schwere Oberstufe macht es nötig, das man diesen „Buckel“ in die Aufstiegsbahn hinimmt, was die Nutzlast wieder absenkt. Ich will dies an der Atlas Agena verdeutlichen. Diese wurde in drei Versionen gebaut, mit der Agena A,B und D Oberstufe, wobei die Agena B und D technisch fast die gleichen Leistungsdaten haben, nur war die Agena D universeller ausgelegt. Agena A und B unterscheiden sich in der Verdoppelung des Treibstoffvorats. In der Nummerierung fehlt die Agena C, das ist eine Agena mit nochmals doppelter Treibstoffzuladung. Sie wurde nie gebaut, wie man an meinen Simulationsergebnissen sehen kann, ist auch klar warum. Dazu kommt noch eine Version, die es ebenfalls nicht gab, eine Agena C mit zwei anstatt einem Triebwerk. Hier erst mal die Nutzlasten dieser Versionen für einen 200-km-Orbit vom CCAF aus:

Typ	Schub	Startmasse	Nutzlast	Startbeschleunigung
Agena A	67,4 kN	3.790 kg	1.900 kg	11,8 m/s
Agena B	71,2 kN	6.667 kg	2.600 kg	7,7 m/s
Agena C	71,2 kN	14.821 kg	2.200 kg	4,2 m/s
Agena C2	142,2 kN	14.821 kg	2.900 kg	8 m/s
Agena D	71,2 kN	6.821 kg	3.000 kg	7,2 m/s

Schaut man sich nun die Aufstiegskurven aller vier Varianten an, so fällt der „Buckel“ auf, er tritt bei allen Varianten auf, außer der Agena A die vom Start weg mit mehr als 1 g beschleunigt. Besonders ausgeprägt ist er natürlich bei der Agena C mit der besonders niedrigen Beschleunigung und damit assoziiert auch langen Brennzeit. Sieht man nun die Verluste an, die nach der Ziolkowski Gleichung auflaufen, so ergibt sich folgendes Bild:

Typ	Schub
Agena A	1.747 m/s
Agena B	1.878 m/s
Agena C	2.536 m/s
Agena C2	1.917 m/s
Agena D	1.678 m/s

Erneut zeigt sich der Zusammenhang zwischen Startbeschleunigung und Verlusten. Die mit 7-8 m/s beschleunigenden Raketen liegen in einer Zone. Die Agena D liegt etwas günstiger als die Agena B da die Leermassen und spezifischen Impuls günstiger liegen. Das drückt sich auch in geringeren Aufstiegsverlusten aus.

Relativ deutlich wird bei der Agena C2, das eine Verdopplung des Schubs eine Nutzlaststeigerung und Reduzierung Der Gravitationsverluste bringt. Das ist aber nicht verallgemeinbar. Ich war lange Zeit der Meinung, dass eine Ariane 5 mit einer ECA mit zwei oder drei Triebwerken die Nutzlast deutlich steigert, doch Simulationen zeigen, das dem nicht so ist, bzw. der Gewinn relativ klein ist. Der wesentliche Grund ist, dass die Stufe schon bei Zündung fast Orbitalgeschwindigkeit hat. Die Gravitationsverluste schlagen bei der Erststufe zu: Würde man deren Schub auf 1.700 kN erhöhen so würde sie um 1.000 kg ansteigen.