Hyperbolischer Exzess

Bernd Leitenberger

vor 4 Jahren

Ich las gerade in der SuW einen Artikel über die ersten beiden interstellaren Asteroiden (diesmal passt der Name sogar) und wie man sie erreichen kann. Die Route dafür ist komplex und mir nicht direkt erschließbar, basiert aber auf einem Phänomen, dem hyperbolischen Exzess, ohne den Raumfahrt doch sehr viel aufwendiger wäre.

Ich habe ihn schon mal behandelt, sogar in zwei Teilen. Heute will ich, dem inzwischen gesunkenen Bildungsniveau folgend etwas einfacher beginnen.

Grundlagen

Nämlich mit der Gravitationskraft, die ja die gesamte Raumfahrt prägt. In einem Gravitationsfeld wie es jeder Körper hat gibt es zwei Energieformen:

die kinetische Energie der Bewegung
die Ruheenergie, in der Mechanik spricht man auch von Hubarbeit.

Diese Energieformen wandeln sich dauernd um. Ich nehme mal ein ganz einfaches Beispiel. Wenn ich einen Stein senkrecht nach oben werfe, so erhält er kinetische Energie. Laufend wird er von der Gravitationskraft jedoch abgebremst (um die Erdbeschleunigung g ~ 9,81 m/s²) und irgendwann erreicht er eine Gipfhöhe. Nun hat er gar keine kinetsiche Energie mehr, aber er befindet sich auf einem höheren Niveau, man hat Hubarbeit oder potenzielle Energie) geleistet. Würde ihn dort jemand auffangen, er könnte diese Energie speichern. Beim Fallen wird die Hubarbeit dann wieder in kinetische Energie umgewandelt.

Ein Körper hat auch schon an der Erdoberfläche durch die Entfernung vom Massezentrum eine beträchtliche Energie eben in Form dieser Ruheenergie. Würde man einen Tunnel quer durch die Erde bohren können, und einen Stein fallen lassen, so würde er auch beschleunigt, allerdings immer langsamer, weil beim Fallen immer weniger Masse zwischen ihm und dem Erdmittelpunkt liegt und immer mehr Masse zwischen ihm und der Oberfläche, die in die Gegenrichtung zieht. Im Erdmittelpunkt angekommen wäre er etwa 7,9 km/s schnell und von jetzt ab wird er nur noch abgebremst, weil immer mehr Masse hinter ihm und immer weniger vor ihm liegt, um dann auf der anderen Seite der Erde wieder herauszukommen – bei gleicher Distanz zum Mittelpunkt mit der Geschwindigkeit Null. Dauern würde das knapp 90 Minuten. Das die Geschwindigkeit und Dauer dem einer Kreisumlaufbahn in Meereshöhe entsprechen ist kein Zufall denn die Gesamtenergie eines Körpers ist immer die Summe beider Energieformen. Die Hubenergie äußert sich im täglichen Leben ja durch die Gravitation und ein Körper in einer Umlaufbahn ist schwerelos, spürt diese Beschleunigung also nicht und muss daher genau diese Hubenergie aufbringen. Er tut dies in Form einer Zentrifugalenergie, die in genau entgegengesetzter Richtung wirkt und so die Schwerebeschleunigung aufhebt.

Das ist kein Einzelfall. Bildet man für Satelliten in beliebiger Höhe die Summe aus Bewegungsenergie und Ruheenergie, so ist diese konstant – je weiter man sich von der Erde entfernt desto kleiner die Bahngeschwindigkeit.

Die beiden wesentlichen Formeln dafür sind:

E_pot = (¹/_r₂–¹/_r₁)*GM

für die potenzielle (Ruhe)energie

v = Sqrt(¹ / _r1 * GM)

für die Kreisbahngeschwindigkeit im Gravitationsfeld. Aus dieser kann man wieder die kinetische Energie berechnen. Die kinetische Energie ist in der Physik definiert als

E_kin = ½ m * v²

GM ist in beiden Fällen das Produkt aus Masse des Körpers mit der Gravitationskonstante (6,6726…x10^-11 m³⋅kg⁻¹⋅s⁻²) und Masse des Körpers. R1 und R2 sind Abstände vom Erdmittelpunkt bzw. Mittelpunkt des Körpers.

Bei elliptischen Bahnen ist es etwas komplexer. Eine elliptische Bahn entsteht, wenn ein Körper eine höhere Geschwindigkeit hat als die Kreisbahngeschwindigkeit. Die Zentrofugalgeschwindigkeit trägt ihn dann von der Erde fort. Die Gravitation verlangsamt den Körper aber trotzdem und er gelangt irgendwann an den erdfernsten Punkt der Bahn, wo er dann eine deutlich niedrigere Geschwindigkeit als die dortige Kreisbahngeschwindigkeit hat. Hier versagt leider das Analogon zum Wurf, denn er hat immer noch eine Geschwindigkeit über Null, bei einem GTO-Orbit z.B, knapp unter 1500 m/s, was mehr als vierfache Schallgeschwindigkeit ist. Das Analogon scheitert, weil die Bahn natürlich im dreidimensionalen Raum ist und sich die Vektoren von Gravitation und Zentrifugalkraft nicht mehr dann gegenseitig aufheben. Aber auch das ist nicht so sonderbar, denn schon beim schrägen Wurf muss man die horizontale Komponente berücksichtigen.

Die Fluchtgeschwindigkeit

Um einen Körper aus dem Schwerefeld zu entfernen, muss man praktisch die Hubarbeit aufwenden die er auf der Starthöhe hat aufwenden. Im obigen Term wird dann R1 zu unendlich und 1/∞ ist 0, also reduziert er sich auf

Epot = (¹/_r₂)*GM

Das bedeutet aber nicht dass man nun die doppelte Geschwindigkeit aufwenden muss, sondern wegen des Zusammenhangs, das die kinetische Energie im Quadrat zur Geschwindigkeit ansteigt, nur um den Faktor Quadratwurzel(2) also 1,41… aufwenden. Bei niedrigen Erdumlaufbahnen sind das etwa 11 km/s. Man erkennt das durch diesen Zusammenhang die Weltraumfahrt erheblich einfacher wäre, wenn die Erde eine niedrigere Dichte hätte. Hätte sie die des Mondes (3,34 g/cm³) anstatt der realen 5,51 g/cm³ so hätte sie einen Radius von 7.531 anstatt 6.378 km und die Kreisbahngeschwindigkeit einer 200-km-Bahn läge bei 7.275 m/s anstatt 7.787 m/s und die Fluchtgeschwindigkeit bei 10.289 m/s. Zumindest erleichtert das den Rückstart vom Mars, der ebenfalls eine neidrige Dichte hat.

Wenn wir einen Körper auf genau Fluchtgeschwindigkeit beschleunigen so verlässt er die Erde zwar, aber er wird immer langsamer. Im Unendlichen angekommen hat er die Geschwindigkeit Null, es würde also sehr lange dauern, weil er immer langsamer wird. In der Praxis gerät er aber irgendwann in die Einflusssphäre der Sonne und umrundet dann die Sonne in einer Umlaufbahn ähnlich der Erde. Es gab Raumsonden, die nur wenig schneller als die Erde waren und sie so nach einiger Zeit wieder passierten. Praktisch ausgenutzt hat man das bei den Sonnensatelliten Stereo und Spitzer. Contour, eine leider schon beim Start gescheiterte Kometensonde, hatte einen Orbit, bei dem sie die Erde gar nicht richtig verlässt sondern nur in einer sehr elliptischen Umlaufbahn umkreist die nach jeweils einem Jahr wieder das Perigäum durchläuft wo man sie dann zu einem Ziel umlenken konnte. Das ist dann schon sehr nahe an einer Bahn die der Fluchtgeschwindigkeit fast entspricht.

Der hyperbolische Exzess

Doch wie sieht es aus. Wenn wir mehr als die Fluchtgeschwindigkeit aufnehmen. Nehmen wir an, sie beträgt in der Ausgangsbahn um die Erde genau 11 km/s und wir beschleunigen auf 12 km/s. Welche Geschwindigkeit hat der Körper dann, wenn er die Erde verlassen hat, also im unendlichen oder zumindest großer Entfernung? Alle die „einen Kilometer pro Sekunde“ sagen dürfen nun weiterlesen, alle anderen können weitersurfen, z.B. zur Grundlagensektion auf der Website. Es greift nun die Definition der kinetischen Energie, die oben steht. Denn kann man da der Faktor 0,5 und die Masse konstant sind verkürzten auf:

Ekin = c * v²

Für 12 km/s also

Ekin = c * (12.000 m/s)²

Ekin = c *144.000.000 m²/s²

ziehen wir davon die kinetische Energie ab, die in der Hubarbeit steckt, sie entspricht 11.000 m/s Geschwindigkeit so bleibt übrig:

Ekin = c * (12000 m/s)²-(11.000 m/s)²

Ekin = c * 23.000.000 m²/s²

und lösen wir das mit dem Zusammenhang E = c v² wieder nach v auf so folgt

v = Quadratwurzel(23.000.000 m²/s²)

und das sind knapp 4.596 m/s nicht 1.000 m/s.

Ist doch toll oder? Man kann das übrigens auch geometrisch deuten, denn das entspricht dem Satz des Phytagoras:

V² = V_flucht² + V_rest²

bzw:

V_rest = Sqrt(V² – Vflucht²)

V_rest nennt man auch hyperbolische Exzessgeschwindigkeit, es ist die Geschwindigkeit die übrig bleibt, wenn man ein System völlig verlassen hat. Man muss daher immer auch das System nennen, auf das man sich bezieht, hier also die Erde. In der Praxis ist die Sonde bei einer Distanz x kleiner als unendlich schneller, da sie ja laufend Geschwindigkeit verliert, auch wenn dieser Verlust quadratisch mit der Distanz abnimmt.

Praktische Bedeutung

Wenn wir in die Umlaufbahn um einen Planeten einschwenken wollen, kommt Die Sonde mit einer gewissen Restgeschwindigkeit an, bei typischen Mars oder Venusbahnen so etwa 2,5 bis 3,5 km/s abhängig von der Bahn und Stellung der Planeten zueinander. Diese Überschussgeschwindigkeit muss abgebaut werden und ein Teil der Differenz zwischen der Fluchtgeschwindigkeit und der Kreisbahngeschwindigkeit, das ist abhängig von der gewünschten Umlaufbahn. Nun muss man durch den hyperbolischen Exzess nicht diese gesamte Geschwindigkeit abbremsen, sonst wären wahrscheinlich bis heute keine Orbiter um Venus und Mars denkbar. Für eine Umlaufbahn um die Venus mit einem venusnächsten Punkt von 200 und einem venusfernsten von 66.000 km, in etwa die Bahn von Pioneer Venus 1, errechnet sich im venusnächsten Punkt, wo das Manöver stattfindet (dazu noch mehr) z.B. eine Kreisbahngeschwindigkeit von 7.210 m/s und eine reale Geschwindigkeit, da die Bahn elliptisch ist, von 9780 m/s. Die Fluchtgeschwindigkeit beträgt in diesem Punkt 10.255 m/s.

Ohne hyperbolischen Exzess müsste man die (angenommenen) 3.000 m/s Überschussgeschwindigkeit abbauen und dann noch die Differenz von der Fluchtgeschwindigkeit und realen Geschwindigkeit der Zielbahn also 10.255-9.780 = 475 m/s. Zusammen also 3475 m/s. In der Realität formulieren wir die obige Formel um:

V = Sqrt(v_Flucht²+v_rest²)

und kommen so auf ~ 10.685 m/s realer Geschwindigkeit in 200 km Höhe und bei 3.000 m/s Annäherungsgeschwindigkeit, also nur 420 und nicht 3.000 m/s mehr als die Fluchtgeschwindigkeit.

Das ist die reale Geschwindigkeit welche die Sonde hätte, wenn sie 200 km von der Venus entfernt wäre. Um nun die obige Umlaufbahn zu erreichen, müssen wir nur noch 10.685-9.780 m/s = 905 m/s abbremsen, das ist ein enormer Gewinn, weniger als ein Drittel der obigen Geschwindigkeit und da der Treibstoffverbrauch mit der kinetischen Energie korrespondiert weniger als 7 % der Energie.

Das ominöse c₃

Die Formel kann also zweimal angewandt werden – um zu errechnen, welche Geschwindigkeit verbleibt, wenn man die Erde verlässt, wie auch die Geschwindigkeit, die man abbauen muss, um in eine Bahn einzuschwenken. Für solare Bahnen steht ja der Geschwindigkeitsbedarf fest. Um z.B. von der Erde zu Venus oder Mars zu kommen, muss man um 3 bis 4 km/s relativ zur Erde abbremsen (Venus) oder beschleunigen (Mars). Die Startgeschwindigkeit ist dagegen von der Ausgangsbahn abhängig und die wiederum vom Abstand. Für konkrete Missionen hat es sich daher eingebürgert den Term denn wir bisher als „v_rest² bezeichnet haben, eine eigen Bezeichnung zu geben nämlich C_3.C₃ liegt bei Bahnen zu Mars und Venus zwischen 7 und 16 km²/s² steigt bei den anderen Planeten aber rasch an. Für Jupiter benötigt man mindestens 80 km²/s². Mit etwa 157 km²/s² kann man das Sonnensystem verlassen. Das sind 16,7 km/s oder knapp 9 km/s mehr als die Kreisbahngeschwindigkeit in 200 km Höhe.

Der Abstand

Wie man aus der Gleichung ersieht, macht es Sinn, so nahe wie möglich am Planeten abzubremsen, da die lokale Fluchtgeschwindigkeit natürlich von der Kreisbahngeschwindigkeit abhängt. Strebt man eine elliptische Bahn an, wie sie viele Missionen sowieso als Ziel haben – nahe des Planeten kann man gut beobachten, fern des Planeten ändert sich die absolute Lage relativ zur Erde kaum, dann kann man die Ergebnisse übertragen, so ist das der Idealfall. Doch was ist bei Kreisbahnen? Wenn man eine weiter entfernte Kreisbahn anstrebt, z.B. um einen Mond zu besuchen dann ist es ja so, dass man in einer Ellipsenbahn erst den plänetennächsten Punkt anheben muss. Das kostet Energie. Wäre es nicht besser gleich in der Höhe der späteren Kreisbahn abzubremsen? Es ist es aber so, dass es trotzdem günstiger ist. Ich habe hier mal einige Fälle skizziert. Bei der Venus gibt es keinen Mond, daher ist die Bahn eine Bahn, die mit der Wolkenbewegung synchronisiert ist. Bei allen anderen Planeten der jeweils äußerste große Mond. Die Ankunftsgeschwindigkeit entspricht der günstiger Hohmanntransferbahnen. Der minimale Abstand beträgt 200 km bei Venus und Mars und 5.000 km bei Jupiter und Saturn

Planet	Ziel	Entfernung	ΔNormal	ΔV aus Ellipsenbahn
Venus	3,5 Tage Bahn	84.913 km	1.912	1.899
Mars	Deimos	23.460 km	1.975	995
Jupiter	Kallisto	1,883 Mill. km	4.682	1.375
Saturn	Iapetus	3,56 Mill. km	3.919	3.372

In der Praxis würde man natürlich bei Jupiter und Saturn die Swing-By-Technik an Monden zusätzlich nutzen. Man sieht schon – je weiter die Kreisbahn sich von dem Planeten entfernt, desto geringer ist der Vorteil, er ist aber immer da.

Triebwerkszündungen zur Beschleunigung

Nun komme ich zu meinem Aufhänger zurück. Die beiden interstellaren Asteroiden 1I/ʻOumuamua und 2I/Borisov haben hyperbolische Exzessgeschwindigkeiten von 26 bzw. 32 km/s im Unendlichen. Sprich, wenn sie das Sonnensystem verlassen haben, sind sie noch so schnell. Sie sind damit 10 bzw. 16 km/s schneller als die schnellsten Raumsonden die wir jemals auf den Weg gebracht haben. Wie will man eine solche Geschwindigkeit erreichen?

Nun, man kann den Spieß auch umdrehen. Anstatt den hyperbolischen Exzess zu nutzen, um weniger abzubremsen, kann man auch das Triebwerk in die andere Richtung drehen und am planetennächsten Punkt beschleunigen. Das geht natürlich am besten bei einem Körper mit möglichst großer Masse. Bei den erdnahen Planeten ist das relativ sinnlos, am meisten Masse hat noch die Erde, da könnte man die Beschleunigung aber schon beim Start aufbringen. Den einzigen Sinn, den ich sehe, wäre, wenn man schon vorher durch andere Swing-Bys beschleunigt hat, beim letzten Vorbeiflug nochmals einen Antrieb zu zünden.

Viel besser geht das bei Jupiter, der die 318-fache Erdmasse hat. Auch wenn er als Gasplanet dann so groß ist, dass dies wieder etwas des Vorteils wegnimmt, da die niedrigste Passagedistanz recht groß ist. Eine Sonde die mit 6 km/s Überschussgeschwindigkeit den Jupiter in 5.000 km Distanz zu den Wolken passiert, (Minimaldistanz von Juno) erreicht eine Spitzengeschwindigkeit von 57.912 m/s. Die Fluchtgeschwindigkeit beträgt an diesem Punkt nur 312 m/s weniger. Zündet man nun ein Triebwerk und beschleunigt um 2 km/s, so ist man nach Verlassen der Einflusssphäre nicht 6 km/s, sondern 16.479 m/s schnell. Man gewinnt also 10 anstatt 2 km/s.

Noch mehr Masse ~ 300.000 mal die Erdmasse. hat die Sonne. Ihr kann man sich natürlich nicht bis auf 5.000 km nähern, da würde die Sonnenstrahlung jedes Material, das es gibt, verdampfen. Aber die Parker Solar Probe soll nach zahlreichen Swing-Bys an der Venus die die Bahn jedes Mal absenken sich bis auf 6,9 Millionen km dem Sonnenzentrum nähern. Ein Schutzschild soll sie vor der Hitze der Sonne schützen und derzeit klappt das auch, auch wenn das Perihel bisher nur bei 13,5 Millionen km liegt. Direkt zur Sonne kommt man nicht. Dazu müsste man einen Großteil der Bahngeschwindigkeit der Erde abbauen. Das ist fast so viel Energie, wie man aufwenden muss, um zu den Asteroiden zu kommen. Aber man kann – und ich denke das war im Artikel gemeint – erst zu Jupiter fliegen. Jupiter kann durch seine Gravitationskraft das Perihel auf diese Distanz absenken. Als Zusatznutzen geht die Ellipse weiter in den Raum hinaus – bis zu Jupiter anstatt bis zur Erdbahn und die Geschwindigkeit im Perihel ist so höher. Würde man aus einer 6,9 x 700 Mill. Km Bahn im Perihel um 2 km/s beschleunigen, so blieben im Unendlichen 19,3 km/s übrig, da die Spitzengeschwindigkeit in dieser Bahn bei 185,7 km/s liegt. Ist noch nicht ganz die Geschwindigkeit um die Objekte zu erreichen, aber mit einem etwas größeren Antrieb würde es wohl gehen. Die Planung für den Vorgänger der Parker Solar Probe ging sogar von einem sonnennächsten Punkt von 3,2 Millionen km aus. Der gleiche Antrieb (2 km/s ΔV) dort gezündet hätte eine Überschussgeschwindigkeit von 25,8 km/s ergeben.

Die Technik wäre natürlich auch woanders nutzbar, z.B. bei Neutronensternen und Pulsaren. Hier gibt es nicht das Problem, das die Annäherungsdistanz von der Oberfläche begrenzt wird. Man kann sich diesen extrem dichten Objekten so stark nähern, dass die molekularen Eigenschaften des Werkstoffs die Grenze setzen, sprich der Unterschied der Gravitationskraft zwischen dem einen und anderen Ende die Sonde auseinanderreißt. Bei einem Neutronenstern mit 1,4 Sonnenmassen und einer Zugfestigkeit von 3.000 N/mm² (etwas kleiner als die Belastungsgrenze von CFK-Fasern) dürfte ein 4 m langer und 1 t schwerer Körper bei einer Kopffläche von 1 m² sich einem Neutronenstern auf etwa 200 km nähern. Dort hat er aber schon knapp 10% der Lichtgeschwindigkeit als Vorbeifluggeschwindigkeit. Dort 2 km/s addiert führt zu 345 km/s mehr. Schade nur das Neutronensterne so selten im Sonnensystem sind….