In wie weit steigert mehr Schub die Nutzlast?

Heute wieder ein durchgerechneter Grundlagenartikel. Es geht um einen Teil der Verluste einer Rakete. Unter „Verlusten“ (ja auch im englischen heißt es „losses“) versteht man einen Mehraufwand an Energie, der sich in einer nach der Ziolkowksi- oder Raketengrundgleichung höheren Geschwindigkeit äußert.

Es gibt eine Reihe von „Verlusten“, so durch die Luftreibung, am höchsten bei der Zone von Max-Q wo die Rakete in den Überschallbereich übergeht. Dann Steuerverluste die durch die Drehung der Rakete entstehen, wenn der Geschwindigkeitsvektor nicht dem Vektor der Triebwerke entsprechen. Der Hauptanteil sind aber die Gravitionsverluste die man wiederum in zwei Arten einteilen kann. Das eine ist die Hebearbeit im Gravitationsfeld, der eigentlich kein Verlust ist sondern die Umwandlung von kinetischer in potenzielle Energie. Sie entsteht dadurch das jeder Orbit mindestens 150 km von der Erdoberfläche entfernt ist, also erst mal die Nutzlast auf diese Höhe gehoben werden muss. Der zweite entsteht dadurch, dass während die Rakete beschleunigt, die Erdanziehung an ihr nach unten zieht und sie so verlangsamt.

Gravitationsverluste

Eigentlich ist es vom Prinzip ja her einfach: je stärker man beim Start beschleunigt, um so schneller hat man eine bestimmte Treibstoffmenge verbraucht, und um so geringer sind diese Verluste. Aber es ist nicht ganz so einfach.

Sortiert man die Raketen nach den Gravitationsverlusten, so fällt einem bald auf, das die Raketen die kurze Brennzeiten bis zum Erreichen des Orbits haben, kleine Verluste haben und die mit langen Brennzeiten hohe Verluste. Das heißt an dem einen Ende der Liste findet man Feststoffraketen wie die Vega, Pegasus oder Scout und an der anderen Raketen wie die Ariane 5 oder Saturn V. Die meisten Raketen mit mittelenergetischen Treibstoffen liegen dazwischen, da bei gleicher Startbeschleunigung die Brennzeit mit geringerem spezifischen Impuls absinkt.

Aber ganz so einfach ist es nicht. Reine Feststoffraketen haben meist eine so kurze Brennzeit, dass sie wenn man diese aneinander reiht, bei Brennschluss noch gar nicht die Orbithöhe erreicht haben, das Perigäum zu niedrig liegen würde. Bei ihnen sind Freiflugphasen üblich, in denen die Rakete weiter aufsteigt, aber langsamer wird. Solche Freiflugphasen kosten Energie und sollten daher vermeiden werden. Also eine zu kurze Brennzeit ist auch nicht sinnvoll. Daneben muss man die Rakete als Gesamtsystem betrachten, denn bei unserer Betrachtung geht es ja um die erste Stufe, doch auch die Oberstufe(n) können Gravitationsverluste addieren.

Aber die Tatsache, dass die meisten mit flüssigen Treibstoffen angetriebenen Raketen meistens so langsam, wie nur technisch beherschbar starten, sollte schon darauf hinweisen, das diese einfache Betrachtung nicht die einzig sinnvolle ist. Ich will das daher mal systematisch untersuchen.

Die Modellrakete

Um mich nicht in die Nesseln mit den Nachteilen einer realen Rakete zu setzen habe ich eine synthetische Rakete modelliert, mit folgenden Eigenschaften:

Die Oberstufe soll nicht durch lange Brennzeiten selbst Gravitationsverluste verursachen, aber andererseits lange genug brennen, um eine sehr kurze Brennzeit der Erststufe zu ermöglichen. Ich habe eine LOX/Kerosin Stufe vorgesehen die 250 Sekunden Brennzeit hat. Bei 9,6 t Start und 0,8 t Startmasse und einem spezifischen Impuls von 3.200 m/s im Vakuum ergibt sich für sie ein Schub von 112,64 kN. Die Stufe hat einen Durchmesser von 3 m und eine Höhe von 4,5 m. Die Nutzlastverkleidung von 800 kg Masse hat einen Durchmesser von 3 m und eine Höhe von 9 m.

Die Erststufe soll in der Modellierung zuerst mit 12 m/s, in den folgenden Schritten dann mit etwa 14, 16 und 18 m/s Startbeschleunigung starten. Als Masse der Nutzlast+Oberstufen habe ich 14 t (davon 9,6 t Oberstufe und 0,8 t Nutzlastverkleidung) angenommen.

Die Startmasse habe ich zu 126 t, die Leermasse zu 7 t in der ersten Version angenommen. Der spezifische Impuls beträgt 3000 m/s im Vakuum und 2700 m/s auf Meereshöhe. Die erste Stufe hat einen Durchmesser von 3 m und eine Höhe von 22 m. Daraus errechnet sich folgender benötigter Startschub:

Beschleunigung	Startschub	Mehrgwicht
12 m/s	1.680 kN	–
14 m/s	1.960 kN	467 kg
16 m/s	2.240 kN	935 kg
18 m/s	2.520 kN	1.400 kg

Natürlich bedeutet mehr Schub auch ein größeres Gewicht, das Triebwerrk wird schwerer oder es sind mehr Triebwerke nötig. Bei großen Nebenstromtriebwerken kommt man problemlos auf ein Schub/Gewichtsverhältnis von 80, dazu kommt noch eine Verstärkung des Triebwerksrahmens, sodass ich als Zusatzgewicht ¹/₆₀ des Zusatzschubs (in Kilopond) angesetzt habe, dieses Zusatzgewicht findet sich in der letzten Spalte der Tabelle, wird nun aber beim Startschub nicht mehr berücksichtigt, weil es minimal ist und natürlich auch die Nutzlast variiert. So kleinteilig muss man aber nicht simulieren.

Der anspruchsvollste Orbit im Hinblick auf die Gravitationsverluste ist natürlich der erdnächste da man die Orbitalgeschwindigkeit (keine Abzüge durch die Erdanziehung) erst zum Brennschluss erreicht und die Nutzlast maximal ist. So habe ich für einen 200 km Kreisorbit mit Bahnneigung des Capes simuliert.

Hier erst mal die Zusammenfassung (in der letzten Tabelle im Artikel Nummer 1 bis 4):

Beschleunigung	Nutzlast	Verluste	Bahnneigung
12 m/s	3,130 kg	1.298 m/s	27,29 Grad
14 m/s	3.300 kg	1.136 m/s	27,34 Grad
16 m/s	3.380 kg	1.060 m/s	27,34 Grad
18 m/s	3.260 kg	1.097 m/s	27,31 Grad

Sehr deutlich wird dass die Nutzlast zuerst stark, dann nur noch langsam ansteigt und dann sogar wieder abfällt. Die Bahnneigung habe ich der Vollständigkeit angegeben, denn bei GTO-Bahnen ist auch wichtig, dass diese absinkt weil die Rakete sich dem Äquator nähert und je länger sie brennt, desto näher ist sie ihm. Bei LEO Bahnen und diesen kurzen Brennzeiten gibt es hier praktisch keine Unterschiede. Die Variante mit 18 m/s hat durch die Zusatzmasse und kurze Brenndauer schon wieder einen Nachteil. Deutlich wird das wenn man sich Aufstiegskurfen mal ansieht:

Erwünscht ist eigentlich, dass die Rakete nicht über die spätere Orbithöhe steigt also, im Prinzip nach 200 km Höhe die Bahn geradlinig verläuft. Dazu bräuchte ich in der Simulation mehr als zwei Stützpunkte für den Winkel zur Erdoberfläche, die aber nicht viel am Ergebnis ändern. Deutlich ist aber zu sehen wie die letzte Rakete wie die erste einen deutlichen „Buckel“ hat.

Diskussion

Wir haben zwei Trends. Zum einen der Anstieg an Nutzlast. Der ist am Anfang am größten. Er beträgt beim Übergang von 12 auf 14 m/s (gerundet) Startbeschleunigung 5,4 Prozent. Er erreicht einen Spitzenwert bei 16 m/s, der aber nun nur noch weitere 2,4 Prozent bringt.

Die Gegenrechnung sind die Kosten. Die Triebwerke machen einen Großteil der Kosten der ersten Stufe aus. Wir haben also einen Anstieg von 16,7 Prozent bei dem Schub, der mit einem Kostenanstieg verbunden ist – teurere schubkräftigere Triebwerke oder mehr Triebwerke. Ich vermute bisher ist dies das wichtigste Gegenargument.

Gegenrechnung

Man kann natürlich auch anders argumentieren und zwar indem man bei mehr Schub einfach die Tanks verlängert, denn die kosten ja viel weniger als die Triebwerke. Die Startbeschleunigung bleibt bei den 12 m/s. Das ändert zwar nichts an den Gravitationsverlusten, aber die Rakete hat immer mehr Treibstoff der ja einen zusätzlichen Gesamtimpuls entspricht.

Ich habe daher nochmals drei Raketen (Nummer 5-7) modelliert, bei denen ich die Startbeschleunigung gleich lies, aber bei steigendem Schub einfach die erste Stufe verlängert habe. Hier habe ich das Voll-/Leermasseverhältnis von 18 der ersten Rakete beibehalten.

Startschub	Vollmasse erste Stufe	Leermasse erste Stufe	Verlängerung
1.680 kN	126 t	7 t	keine
1.960 kN	149,3 t	8,3 t	3,61 m
2.240 kN	172,6 t	9,6 t	7,23 m
2.520 kN	196 t	10,9 t	10,84 m

Hier nochmals dieselbe Tabelle der Ergebnisse:

Startschub	Nutzlast	Verluste	Bahnneigung
1.680 kN	3,130 kg	1.298 m/s	27,29 Grad
1.960 kN	4.500 kg	1.171 m/s	27,07 Grad
2.240 kN	5.000 kg	1.176 m/s	27,29 Grad
2.520 kN	5.400 kg	1.209 m/s	27,29 Grad

Das heißt wir haben einen Nutzlastanstieg, auch hier zuerst drastisch, dann immer weniger, weil dann die Zweite Stufe im Verhältnis zur Rakete immer kleiner wird und immer weniger an Zusatzgeschwindigkeit aufbringt. Aber die Botschaft ist eigentlich klar: wenn ich z.B. durch Verbesserungen bei den Triebwerken mehr Schub habe, dann sollte ich die Tanks verlängern, wie dies z.B. auch bei den US-Trägerraketen Delta, Atlas und Titan erfolgte. Der Nutzlastgewinn steht in keinem Verhältnis zu den Mehrkosten von einigen Stahlblechen und den Treibstoffkosten. In der Praxis gibt es bei beiden Maßnahmen noch eine Grenze die wichtig ist, die maximale Beschleunigung sie sollte 5 bis 6 g nicht überschreiten, da liegen die meisten Träger und auf diese Belastung sind infolge dessen die meisten Satelliten ausgelegt. Man sieht in dem Diagramm hier liegen die meisten Raketen sehr schlecht. In der Praxis wird man, wenn es geht, die Triebwerke im Schub drosseln oder wenn es mehrere Triebwerke sind, eines oder mehrere abschalten, doch das kostet dann wieder etwas Nutzlast.

Fazit

Mehr Schub, z.B. indem man den Brennkammerdruck von 250 über 300, 330 auf 350 Bar steigert, bringt nur wenig mehr Nutzlast. Sinnvoller wäre es dann die Rakete zu verlängern um mehr Treibstoff aufzunehmen, sofern das nicht die Aerodynamik zu stark verändert. Ohne Tankverlängerung macht dies wenig Sinn, der Nutzlastgewinn ist klein und liegt im einstelligen Prozentbereich, dafür habe ich ein neues Triebwerk das ich erst testen muss und bei dem ich unter Umständen weitere Änderungen durchführen muss.

Hier noch die Daten der Raketen:

Rakete: Gravitation-Testrakete 1

Startmasse [kg]	Nutzlast [kg]	Geschwindigkeit [m/s]	Verluste [m/s]	Nutzlastanteil [Prozent]	Sattelpunkt [km]	Perigäum [km]	Apogäum [km]
139.530	3.130	7.831	1.296	2,24	130,00	200,00	200,00
Startschub [kN]	Geographische Breite [Grad]	Azimut [Grad]	Verkleidung [kg]	Abwurfzeitpunkt [s]	Startwinkel [Grad]	Konstant für [s]	Starthöhe [m]	Startgeschwindigkeit [m/s]
1.680	28	90	800	250	90	10	10	0
Stufe	Anzahl	Vollmasse [kg]	Leermasse [kg]	Spez. Impuls (Vakuum) [m/s]	Schub (Meereshöhe) [kN]	Schub Vakuum [kN]	Brenndauer [s]	Zündung [s]
1	1	126.000	9.800	3.000	1680,0	1866,7	186,75	0,00
2	1	9.600	800	3.200	100,0	112,6	250,00	187,00

Rakete: Gravitation-Testrakete 2

Startmasse [kg]	Nutzlast [kg]	Geschwindigkeit [m/s]	Verluste [m/s]	Nutzlastanteil [Prozent]	Sattelpunkt [km]	Perigäum [km]	Apogäum [km]
140.167	3.300	7.831	1.136	2,35	130,00	200,00	200,00
Startschub [kN]	Geographische Breite [Grad]	Azimut [Grad]	Verkleidung [kg]	Abwurfzeitpunkt [s]	Startwinkel [Grad]	Konstant für [s]	Starthöhe [m]	Startgeschwindigkeit [m/s]
1.960	28	90	800	250	90	10	10	0
Stufe	Anzahl	Vollmasse [kg]	Leermasse [kg]	Spez. Impuls (Vakuum) [m/s]	Schub (Meereshöhe) [kN]	Schub Vakuum [kN]	Brenndauer [s]	Zündung [s]
1	1	126.467	10.267	3.000	1960,0	2177,8	160,07	0,00
2	1	9.600	800	3.200	100,0	112,6	250,00	161,00

Rakete: Gravitation-Testrakete 3

Startmasse [kg]	Nutzlast [kg]	Geschwindigkeit [m/s]	Verluste [m/s]	Nutzlastanteil [Prozent]	Sattelpunkt [km]	Perigäum [km]	Apogäum [km]
140.715	3.380	7.831	1.062	2,40	130,00	200,00	200,00
Startschub [kN]	Geographische Breite [Grad]	Azimut [Grad]	Verkleidung [kg]	Abwurfzeitpunkt [s]	Startwinkel [Grad]	Konstant für [s]	Starthöhe [m]	Startgeschwindigkeit [m/s]
2.240	28	90	800	250	90	10	10	0
Stufe	Anzahl	Vollmasse [kg]	Leermasse [kg]	Spez. Impuls (Vakuum) [m/s]	Schub (Meereshöhe) [kN]	Schub Vakuum [kN]	Brenndauer [s]	Zündung [s]
1	1	126.935	10.535	3.000	2240,0	2488,9	140,30	0,00
2	1	9.600	800	3.200	100,0	112,6	250,00	141,00

Rakete: Gravitation-Testrakete 4

Startmasse [kg]	Nutzlast [kg]	Geschwindigkeit [m/s]	Verluste [m/s]	Nutzlastanteil [Prozent]	Sattelpunkt [km]	Perigäum [km]	Apogäum [km]
141.050	3.250	7.831	1.097	2,30	130,00	200,00	200,00
Startschub [kN]	Geographische Breite [Grad]	Azimut [Grad]	Verkleidung [kg]	Abwurfzeitpunkt [s]	Startwinkel [Grad]	Konstant für [s]	Starthöhe [m]	Startgeschwindigkeit [m/s]
2.520	28	90	800	250	90	10	10	0
Stufe	Anzahl	Vollmasse [kg]	Leermasse [kg]	Spez. Impuls (Vakuum) [m/s]	Schub (Meereshöhe) [kN]	Schub Vakuum [kN]	Brenndauer [s]	Zündung [s]
1	1	127.400	11.000	3.000	2520,0	2800,0	124,71	0,00
2	1	9.600	800	3.200	100,0	112,6	250,00	125,00

Rakete: Gravitation-Testrakete 5

Startmasse [kg]	Nutzlast [kg]	Geschwindigkeit [m/s]	Verluste [m/s]	Nutzlastanteil [Prozent]	Sattelpunkt [km]	Perigäum [km]	Apogäum [km]
164.200	4.500	7.831	1.171	2,74	130,00	200,00	200,00
Startschub [kN]	Geographische Breite [Grad]	Azimut [Grad]	Verkleidung [kg]	Abwurfzeitpunkt [s]	Startwinkel [Grad]	Konstant für [s]	Starthöhe [m]	Startgeschwindigkeit [m/s]
1.960	28	90	800	250	90	10	10	0
Stufe	Anzahl	Vollmasse [kg]	Leermasse [kg]	Spez. Impuls (Vakuum) [m/s]	Schub (Meereshöhe) [kN]	Schub Vakuum [kN]	Brenndauer [s]	Zündung [s]
1	1	149.300	8.300	3.000	1960,0	2177,8	194,23	0,00
2	1	9.600	800	3.200	100,0	112,6	250,00	195,00

Rakete: Gravitation-Testrakete 6

Startmasse [kg]	Nutzlast [kg]	Geschwindigkeit [m/s]	Verluste [m/s]	Nutzlastanteil [Prozent]	Sattelpunkt [km]	Perigäum [km]	Apogäum [km]
188.000	5.000	7.831	1.176	2,66	130,00	200,00	200,00
Startschub [kN]	Geographische Breite [Grad]	Azimut [Grad]	Verkleidung [kg]	Abwurfzeitpunkt [s]	Startwinkel [Grad]	Konstant für [s]	Starthöhe [m]	Startgeschwindigkeit [m/s]
2.240	28	90	800	250	90	10	10	0
Stufe	Anzahl	Vollmasse [kg]	Leermasse [kg]	Spez. Impuls (Vakuum) [m/s]	Schub (Meereshöhe) [kN]	Schub Vakuum [kN]	Brenndauer [s]	Zündung [s]
1	1	172.600	9.600	3.000	2240,0	2488,0	196,54	0,00
2	1	9.600	800	3.200	100,0	112,6	250,00	197,00

Rakete: Gravitation-Testrakete 7

Startmasse [kg]	Nutzlast [kg]	Geschwindigkeit [m/s]	Verluste [m/s]	Nutzlastanteil [Prozent]	Sattelpunkt [km]	Perigäum [km]	Apogäum [km]
211.800	5.400	7.831	1.209	2,55	130,00	200,00	200,00
Startschub [kN]	Geographische Breite [Grad]	Azimut [Grad]	Verkleidung [kg]	Abwurfzeitpunkt [s]	Startwinkel [Grad]	Konstant für [s]	Starthöhe [m]	Startgeschwindigkeit [m/s]
2.520	28	90	800	250	90	10	10	0
Stufe	Anzahl	Vollmasse [kg]	Leermasse [kg]	Spez. Impuls (Vakuum) [m/s]	Schub (Meereshöhe) [kN]	Schub Vakuum [kN]	Brenndauer [s]	Zündung [s]
1	1	196.000	10.900	3.000	2520,0	2800,0	198,32	0,00
2	1	9.600	800	3.200	100,0	112,6	250,00	199,00