Crossfeeding – physikalischer Hintergrund

Nachdem Elendssoft sich in seinem Blog mit den technischen Problemen beschäftigt hat, will ich mich in meinem Blog mit der Physik dahinter, genauer gesagt der Nutzen nach der Raketengrundgleichung, also nicht der Physik, wie man die Treibstoffe zu den Triebwerken leitet, beschäftigen.

Alles beginnt wie immer mit der Ziokowski-Gleichung auch Raketengrundgleichung genannt:

v = ln (Vollmasse / Brennschlussmasse) * V_gas

• V ist die Endgeschwindigkeit einer stufe ohne irgendwelche Abzüge (Erdgravitation, Luftwiderstand, Steuerungsbewegungen)
• V_gas die Geschwindigkeit des Verbrennungsgases bei Verlassen der Düse

Bei Crossfeeding dreht man an dem Verhältnis von Vollmasse/Leermasse. Wenn n Stufen gleichzeitig Brennschluss haben, dann ist dies aufgrund des Logarithmus ungünstiger, als wenn sich der Brennschluss in zwei Ereignisse mit unterschiedlichen Quotienten für Voll-/Brennschlussmasse aufspaltet und deren Ergebnisse addiert werden.

Einfaches Beispiel ohne Bezug zu irgendeiner existierenden Rakete:

Wir haben drei Erststufen mit je 150t Masse voll, 10 t leer und eine Oberstufe und Nutzlast von 50 t Masse.

Haben alle drei Stufen gleichzeitig Brennschluss, so hat der Term ln(Vollmasse/Brennschlussmasse) folgenden Wert:

ln (3150+50 / 310 + 50) = ln(500 / 80) =1,833

und bei Abtrennung von zwei Stufen zuerst und dann erst der dritten Stufe errechnet sich Folgendes:

ln (3150+50 / 210 + 50+150) = ln(500 / 220) =0,821

+

ln (150+50 / 10 + 50) = ln(200 / 60) =1,200

= 2,021

Die Rechnung bisher ist für eine klassische Serienstufenrakete.

Es gibt aber auch noch die Parallelstufenrakete. Eine Parallelstufenrakete zündet alle Stufen gleichzeitig, wie im ersten Beispiel, aber eine Stufe brennt länger. Entweder, weil sie mehr Treibstoff hat, so z.B. bei der Sojus, man könnte aber auch die Ariane 4 als Beispiel nehmen. Oder ihr Schub wird gesenkt, sodass der Treibstoff länger reicht, so bei der Delta IV Heavy oder Falcon Heavy.

Schauen wir mal ein mögliches Beispiel an. Wir nehmen nochmals die obigen Stufen und gehen nun davon aus, dass die zentrale Stufe bei Brennschluss der äußeren Stufen noch 40 t Treibstoff hat, 100 t entsprechend verbraucht wurden. Die Teiler sehen dann so aus:

ln (3150+50 / 310 + 50) = ln(500 / 80) =1,833

und bei Abtrennung von zwei Stufen zuerst und dann erst der dritten Stufe errechnet sich folgendes:

ln (3150+50 / 210 + 50+40+10) = ln(500 / 120) =1,427

+

ln (50+50 / 10 + 50) = ln(100 / 60 ) = 0,510

=1,937

Es ist ungünstiger als die Serienstufenrakete und günstiger als das gleichzeitige Zünden aller Stufen, wie man sieht. Das ist auch ohne Mathematik erklärbar. Denn wenn die beiden äußeren Booster Brennschluss haben, dann hat die mittlere Stufe schon mehr als ²/₃ des Treibstoffs verbraucht. Sie muss aber die weitestgehend leeren Tanks weiterhin transportieren. Zusätzlich käme die Stufe, weil die Masse viel kleiner ist, mit weniger Schub aus. Die Triebwerke stellen dann auch mehr ein Totgewicht dar, als einen Gewinn. Daher sprengte man bei der Atlas auch den Triebwerksblock während des Flugs ab.

Beim Crossfeeding nutzen wir nun die Vorteile einer Parallelstufenrakete und einer Serienstufenrakete. Wir haben im Prinzip das mathematische Verhalten einer Serienstufenrakete, denn der Treibstoff in der Mitte ist ja nicht verbraucht. Man muss daher für diese keine neue Berechnung nach der Raketengrundgleichung durchführen, es gilt die obige. Aber die Mathematik ist eine Sache. Ein Riesenvorteil der Parallelstufenrakete ist, dass der Startschub von allen Stufen kommt. Er ist damit höher und somit auch die Startbeschleunigung. Das senkt die Gravitationsverluste, die leider nicht in der Ziolkowski Gleichung vorkommen, sondern für jede Rakete durch numerische Simulation bestimmt werden müssen.

Es gibt weitere Vorteile. So passiert die Rakete schneller die dichte Atmosphäre, das senkt den Luftwiderstand. Sie arbeitet daher auch länger bei niedrigem Außendruck, das steigert Schub und spezifischen Impuls. Die zweite Stufe arbeitet wahrscheinlich schon im Vakuum, man könnte für sie eine optimierte Düse wählen. Alle diese Vorteile sind aber nur durch eine numerische Simulation herausfindbar. Irgendwelche pauschale Urteile wie „Rakete X wird durch Crossfeeding um y % leistungsfähiger“ sind daher nicht möglich.

Einsatzgebiete

Auch ohne Simulation kann man den Nutzen abschätzen. Jenseits der Ziolkowski-Gleichung gibt es einen Grundsatz beim Raketenbau: trenne überflüssige Masse so früh wie möglich ab. Während eine Rakete den Orbit anfliegt, zerrt ja die Erdgravitation beständig an ihr und vernichtet einen Teil der aufgebauten Geschwindigkeit. Je schneller man daher Masse abtrennt, die man so nicht auch noch weiter in größere Höhe schleppt, desto günstiger ist das. Desto mehr Beschleunigung hat die Restrakete, desto schneller erreicht sie einen Orbit. Vergleicht man die Endgeschwindigkeiten von Raketen nach der Ziolokowsi-Gleichung mit der Geschwindigkeit, die man für den Orbit braucht, so sieht man das diese zwischen 1000 und 2500 m/s mehr brauchen, und zwar mit einem eindeutigen Trend: je länger die Rakete braucht, um den Orbit zu erreichen, desto höher dieser Wert. Am oberen Ende liegen Raketen mit langen Brennzeiten, wie die Ariane 5G, am unteren reine Feststoffraketen.

Wenn man diese Erkenntnis nun mal auf die Kombination von n Stufen anwendet, so findet man Folgendes:

Bei n Parallelstufen mit Crossfeeding, aufgeteilt in 1 Zentralstufe und n-1 Booster

sinkt die Brennzeit der Booster vergleichen zur Serienstufenrakete auf (n-1/n) x t Sekunden, wenn t die Brennzeit jeder Stufe ist.

Es dürfte klar sein, dass dieser Term mit steigendem n immer mehr sich n x t also dem Fall der Serienstufe annähert. Für die zweite Stufe gibt es keinerlei Änderung. Bei symmetrischem Crossfeeding ist also n=3 die kleinste mögliche Zahl, Bei asymmetrischem Crossfeeding n=2. Je mühe Booster man hat, desto kleiner wird der Vorteil.

Weiterhin folgt aus der Regel, „So früh wie möglich abtrennen“ auch, dass Crossfeeding um so günstiger ist, je länger die Brenndauer der Stufe. Das ergibt sich aus der Logik. Nehmen wir zwei Stufen von 150 und 200 s Brenndauer, die Unterschiede in der Brenndauer kommen in der Praxis durch den verwendeten Treibstoff – je höher der spezifische Impuls des Treibstoffs bei gleichem Schub ist, desto länger ist die Brenndauer der Stufe.

Ohne Crossfeeding hätte man bei 3 Stufen und 2/1 Anordnung:

Fall 1: 150 s + 150 s = 300 s

Fall 2: 200 s + 200 s = 400 s

Mit Crossfeeding:

Fall 1: 100 s + 150 s = 250 s

Fall 2: 133,3 s + 200 s = 333,3 s

Im einem Fall reduziere ich also die Dauer um den Orbit zu erreichen oder die Zeit der Stufentrennung um 50 s, im zweiten dagegen um 66,6 s. Daher ist der Gewinn hier größer.

Man wird daher verstehen, warum ich mir bei der Antwort auf Sebastians Beispiels ausgerechnet die Delta IV Heavy herausgesucht habe.

Die „ideale“ Rakete

Die „ideale“ Rakete kann man so leicht ableiten. Sie hat in dem Sinne keine Stufen, sondern besteht aus sehr vielen Tanks und Triebwerken, die einzeln abgetrennt werden können. Alle Triebwerke nutzen alle Tanks, wobei aber immer nur ein Tank entleert wird. Sobald er leer ist, wird sein Totgewicht abgeworfen und auf den nächsten Tank umgeschaltet.

Bei den Triebwerken ist es komplexer. Während Tanks wirklich nur unnützes Gewicht sind, ist es bei den Triebwerken so, das ihr Schub die Gravitationsverluste senkt. Von der aktuellen Beschleunigung wird ja die Erdbeschleunigung abgezogen und je höher die Beschleunigung ist, desto kleiner ist dieser Faktor. Auf der anderen Seite kann man bei kurzen Brennzeiten kaum die Orbithöhe erreichen, der erzielte Orbit ist dann instabil, mit einem zu niedrigen Perigäum. Feststoffrakete, die systembedingt kurze Brennzeiten haben, haben daher eingeschobene Freiflugphasen, während der Zeit aber durch die Erdgravitation die Geschwindigkeit wieder absinkt. Ich würde die kurzen Brennzeiten die Thor, Titan, Atlas und R-7 hatten als das Minimum ansehen, um einen stabilen Orbit ohne Freiflugphase zu erreichen. Bei denen wurde dieser erst kurz vor Brennschluss erreicht. Das ist eine minimale Brenndauer von etwa 300 s. Man sollte also Triebwerke so abtrennen, dass man auf diese Brenndauer kommt.