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Web Log Teil 454: 15.3.2016 - 30.3.2016

15.3.2016: Swing-By Bahnen

Abbildung 1Die letzten Tage habe ich weiter an meinem Programm für Raumfahrtberechnungen gearbeitet. Da es so gut mit den hyperbolischen Bahnen und Ionentriebwerken geklappt hat, habe ich mich nun an einem Punkt versucht, den ich schon lange angehen wollte: Swing-By Bahnen.

Swing-By Bahnen sind mathematisch relativ schwierig. Die ersten wurden Anfang der Sechziger Jahre von Michael A. Minovitch am JPL auf einer IBM 7030 „Stretch“, dem damals leistungsfähigsten Computer gerechnet. Sie sind ein typisches „Dreikörperproblem“, das nicht geschlossen mathematisch lösbar ist, sondern nur numerisch. Anders ausgedrückt: Es gibt für Swing-By Manöver einige einfache Gleichungen mit denen man die Abweichung des Minimalabstandes, die Maximalgeschwindigkeit berechnen kann, aber keine, in der man die neuen Bahnparameter berechnen kann. Dafür braucht man eine Simulation.

Erstaunlicherweise ging das recht gut, nachdem ich schon eine Zweikörpersimulation hatte, kam eigentlich nur noch der Planet hinzu. Um den zu treffen, habe ich mir den einfachsten Lösungsansatz genommen: Erst in einer normalen Berechnung die Reisezeit dorthin bestimmen, dann die Anfangsposition von der Endposition um den Winkel verschieben, den der Planet braucht, um dorthin zu kommen. Mein Modell ist dahin gehend vereinfacht, dass ich auf die Z-Komponente verzichte und sich die Planeten auf korrekten Kreisbahnen bewegen. Da ich nur mit Bewegungsvektoren und Geschwindigkeitsvektoren arbeite, wäre es ein leichtes das ganze auf „korrekt“ zu trimmen, nur braucht man dann um den Punkt zu treffen wo sich Sonde und Planet begegnen, auch wirklich die echten Koordinaten im Raum. Die kann man zwar inzwischen bei der NASA nachfragen, aber das war mir dann doch für jede Simulation zu umständlich und in der Zukunft berechnete Daten die sogenannten emphemeriden habe ich nicht und wollte ich auch nicht einbauen. Viel Arbeit habe ich dann noch in die Protokollierung statistischer werte gesteckt und deren Ausgabe.

Ich will heute mal ein paar Ergebnisse vorstellen. Da zig Bahnen möglich sind, habe ich mich mal für die Demonstration auf einige feste Konstanten geeinigt. Wir fliegen von der Erde (150 Mill. Km Entfernung) zu Jupiter (778 Mill. Km Entfernung) mit einer solaren Anfangsgeschwindigkeit von 38700 m/s. Das würde, wenn man Jupiter nicht erreicht, eine Ellipse mit einem Aphel von 825 Mill. Km ergeben. Die Startgeschwindigkeit aus einer 186 km hohen Parkbahn läge bei 14203,2 m/s. Dies wäre die Geschwindigkeit die eine Rakete erreichen müsste.

Abbildung 2Swing-By funktioniert eigentlich sehr einfach:

Man kann es zuerst planetozentrisch sehen, also wenn man den Planeten ins Zentrum des Koordinatensystems stellt oder von dort aus alle Positionen notiert.

Die Raumsonde nähert sich dem Planeten und wird durch die Schwerkraft beschleunigt. Er zieht sie an und verschiebt so den Punkt, wo sie ihn passieren würde. Das kann soweit gehen, dass sie mit ihm kollidiert. Passiert das nicht, so entschwindet sie wieder: die Ausgangsbahn ist spiegelbildlich zur Eingangsbahn. Sie verlässt ihn mit derselben Geschwindigkeit mit der sie kam, und einer Position, die rotationssymmetrisch zur Anfangsposition ist.

Von der Sonne aus ist es komplizierter. Nähert sich die Sonde in der Bewegungsrichtung des Planeten, d.h von "hinten", so addieren sich die Geschwindigkeiten der Sonde und des Planeten. Sie wird beschleunigt. Da der Planet aber sich weiter bewegt während sich die Sonde nähert und sie zu sich anzieht, also ihren Bewegungsvektor dreht, wird der Ausgangsvektor nicht dem Eingangsvektor entsprechen. Solche Bahnen erhöhen die momentane Geschwindigkeit um die Sonne. Bei allen Planeten entspricht dies einer Erhöhung des Aphels, bis hin zu einer Hyperbel (das Aphel wird dann negativ). Umgekehrt: wenn man sich dem Planeten von vorne nähert also einer Position, die er erst noch erreichen muss, subtrahieren sich die Geschwindigkeiten und die Sonde wird abgebremst. Das Perihel sinkt ab. In der Praxis wird das noch etwas komplizierter durch die Anziehung des Planeten, so kann man bei entsprechender Geometrie beide Bahnpunkte Perihel und Aphel gleichzeitig verändern.

Das Ganze klingt kompliziert und ist es auch. Es gibt aber ein anschauliches Beispiel auf dem täglichen Leben: beim Tennis entspricht ein kräftiger Schlag auf den Ball dem ersten Fall - der Ball wird beschleunigt. Ein “Lob“ dagegen der Abbremsung - der Ball „topft“ ab.

Nun ein paar Erkenntnisse. Das erste war für mich die Suche nach einer möglichst nahen Vorbeiflugdistanz ohne das die Sonde auf dem Planeten zerschellt. Ich erhoffte mir dadurch die schnellste Bahn nach außen. Doch dem war nicht so. Derartige Bahnen ergeben bei niedrigen Annäherungsgeschwindigkeit komischerweise kaum eine Geschwindigkeitsänderung, aber eine rapide Bahndrehung. Bild 1 und 2 zeigen das. Bei Bild 1 nähert sich die Sonde bis auf 959 km der Wolkenobergrenze von Jupiter und zwar von hinten. Sie wird beschleunigt und die neue Bahn ist nun tangential zur Jupiterbahn. Da sie aber schneller ist verlässt sie so das Sonnensystem. De Fakto wurde die Bahn um einen Winkel von 90 Grad umgelenkt. Saturn (in 1427 Mill. km Entfernung) würde die Sonde 4 Jahre 327 Tage nach dem Start erreichen - ziemlich lange. Voyager 2 brauchte 4 Jahre dafür und Voyager 1 schaffte es in 3 Jahren 60 Tagen. Wenn man sich nun gegen die Bewegungsrichtung dem Planeten nähert, dann resultiert Abbildung 2: Hier nähert sich die Sonde bis auf 1593 km, aber nun gegen die Bewegungsrichtung. Wieder ist das Ergebnis eine Bahn, die anfänglich tangential zur Jupiterbahn ist, jedoch nun nach innen gekrümmt. Die türkise Ellipse gibt hier die Erdbahn an, allerdings nicht in der korrekten Position. Es resultiert eine Ellipse, deren Perihel nun von 150 auf 671 Millionen km angehoben wurde und deren Aphel in 5270 Millionen km Entfernung liegt. Bedeutender ist, das die Bahn um 180 Grad gedreht wurde - vorher war das Perihel links, das Aphel rechts, nun ist es umgekehrt. Saturn wird so noch passiert, aber erst nach fast 7 Jahren, das heißt um in das äußere Sonnensystem zu gelangen sind beide Bahnen nicht zu gebrauchen.

Abbildung 3Ist der Abstand nicht so hoch, so krümmt der Planet die Bahn weniger, beschleunigt sie aber stärker. Bei Bahnen die nach außen führen, wird der Umlenkwinkel kleiner, dafür werden die Bahnen immer hyperbolischer bzw. extrentrische Ellipsen. Nach außen hin gibt es einen sehr weiten Bereich wo die Reisedauer praktisch konstant ist. Zwischen 560.000 und 672.000 km Entfernung wird z.B. Der Saturn nach 1624 Tagen erreicht. Das sind knapp Viereinhalb Jahre. Der Punkt ist aber abhängig von der Distanz des Planeten. Bei Neptunentfernung führt eine Annäherung von 560.000 auf 163.000 km zu einer Reduktion der Reisedauer von 5400 auf 4966 Tagen.

An der Grafik ist das dran zu sehen, dass sie zuerst noch fast parallel zu Jupiter folgt, dann aber abbiegt. Passiert man Jupiter nun gegen die Bewegungsrichtung, so wird man so stark abbremst. Je nach Anfangsgeschwindigkeit und Geometrie erhält man unterschiedliche Ellipsen. Immer möglich sind Ellipsen wie im Beispiel 4: Die rote Endbahn (die cyane ist dieselbe, nur nicht gedreht) verläuft nun zwischen Jupiter und Saturn mit einem Perihel von 319 Mill. km und einem Aphel von 1020 Mill. km. Startet man mit höherer Geschwindigkeit, so ist auch der Geschwindigkeitsgewinn höher. Addiere ich 1000 m/s zu meiner Startgeschwindigkeit (39700 m/s entsprechend 14854 m/s (ungefähr Voyager 1 Startgeschwindigkeit) von der Erde aus) so sind die Effekte dramatisch. Abbildung 5 zeigt ein Beispiel, das man auch als „Sturz in die Sonne“ kennt. Wenn ich mich mit dieser Geschwindigkeit bis auf 956.000 km gegen Jupiters Richtung bewege, so wird man so abbremst, dass das Perihel auf 11,5 Millionen km Entfernung rutscht. Bei höheren Geschwindigkeiten kann es noch niedriger liegen und rutscht es unter 0,7 Millionen km, so hat man den Sonnenrand erreicht. Schon bei 11,5 Millionen km ist der Gewinn deutlich: Würde man von der Erdbahn aus eine 11,5 x 150 Millionen km anstreben, so muss man um 18 km/s abbremsen - das entspricht 21,7 km von der Erde aus. Der Umweg über Jupiter hat also 7 km/s eingespart.

Vor allem aber beschleunigt die zusätzliche Geschwindigkeit die Reise nach außen beträchtlich. Passiert man nun Jupiter in 680.000 km Entfernung, so ist man nach 1152 Tagen bei Saturn - fast eineinhalb Jahre früher. Neptun kann man nach 2657 Tagen erreichen - wenn man sich bis auf 25.265 km nähert. Bleibt man außerhalb des Ringsystems (226.000 km) so dauert es noch 3313 Tage - das sind rund 9 Jahre, verglichen mit 12 die Voyager 2 brauchte. Zuletzt habe ich noch etwas simuliert wo ich die Daten habe: Voyager 1. Die Bahndaten findet man bei der NASA. Die Ausgabe meines Programmes findet man unten. Die Sonde sollte nach 3 Jahren 46 Tagen bei Saturn ankommen. Voyager 1 wurde gestartet am 5.9.1977. 3 Jahre und 46 Tage später ist der 20.10.1980. In der Realität passierte Voyager 1 Saturn am 12.11.980 - das ist 22 Tage später. Aber Voyager hat auch während der Reise mehrmals den Kurs korrigiert. Die Differenz gibt es schon bei Jupiter, den man nach den NASA Bahndaten schon am 18.2. passieren sollte. Ich vermute die Bahndaten beziehen sich auf den 8.9.1977, als die Sonde schon 3 Tage unterwegs war. Wenn ich die Geschwindigkeit etwas reduziere, sodass sie am 5.3.1979 Jupiter erreicht, so komme ich auf eine Reisezeit von 3 Jahren 78 Tagen oder den 21.11.1980 als Passagedatum,

Abbildung 5Die Grafik dazu findet Ihr unten.

Zuletzt noch das reizvollste Thema des Ganzen: Man zündet einen Antrieb wenn man den planetennächsten Punkt passiert hat. So was kann man nutzen um in den Orbit abzubremsen. Man kann allerdings auch so beschleunigen. Der Gewinn in beide Richtungen ist um so stärker, je höher die Geschwindigkeit vorher war. Ich habe obige Daten von Voyager 1 nochmals genommen und die Sonde bis auf 12000 km an Jupiter herangeführt. So würde sie in 8 Jahren, 314 Tagen nach dem Start Neptun erreichen (ohne Saturnvorbeiflug). Wenn man in 13.000 km Entfernung 1000 m/s hinzuaddiert, z.B. durch einen kleinen Feststoffantrieb, so sinkt das Perijovium nur um 22 km ab, aber man ist in 51/2 Jahren bei Neptun.

 

Ursprüngliche Bahn ohne Swing-By

Bahn ist eine Ellipse

Perihel/Perigäum: 150,800 Mill. km

Aphel/Apogäum: 1340,342 Mill. km

Große Halbachse: 745,571 Mill. km

Kleine Halbachse: 449,581 Mill. km

Winkel: 54,8 Grad

 

Nach der Passage:

Bahn ist eine Hyperbel

Perihel/Perigäum: 760,571 Mill. km

Aphel/Apogaeum: -1865,254 Mill. km

Große Halbachse: -552,341 Mill. km

Minimalentfernung bei Simulationsende: 150,800 Mill. km

Maximalentfernung bei Simulationsende: 1433,501 Mill. km

X-Komponente bei Simulationsende: 1350,731 Mill. km

Y-Komponente bei Simulationsende: -480,057 Mill. km

X-Komponente Geschwindigkeit: 10868,8 m/s

Y-Komponente Geschwindigkeit: -17533,2 m/s

Voyager 1 SimulationKreisbahngeschwindigkeit 9623,3 m/s

Kreisbahngeschwindigkeit X-Komponente: 3222,7 m/s

Kreisbahngeschwindigkeit Y-Komponente: 9067,7 m/s

X-Komponente Differenz Kreisbahn: -7646,1 m/s

Y-Komponente Differenz Kreisbahn: -8465,5 m/s

Geschwindigkeitsdifferenz Kreisbahn: 11407,4 m/s

Geschwindigkeit bei Simulationsende: 20628,7 m/s

Winkel: 109,6 Grad

 

Simulationseinstellungen

Maximale Simulationsdauer: 5 J 175 d

Simulationsdauer 3 J 46 d

Schrittweite: 100 s

Vorgabe Maximalentfernung: 1433,5 Mill. km

Minimaldistanz Annäherung: 278.001,3 km

Differenz zur Fluchtgeschwindigkeit: -2.353,5 m/s

Maximalgeschwindigkeit bei der Annäherung: 35.882,1 m/s

Einflusssphäre: 24.050.000 km

17.3.2016: der Nuklear-Thermische Antrieb

Nein, es geht heute nicht in diesem Beitrag um Atomwaffen als Antrieb, auch wenn es immer wieder Vorschläge gibt, diese zu nutzen. Es geht heute um eine andere Form des Antriebs, der aber auch Kernenergie nutzt, um ein Gas zu erhitzen und durch dessen thermische Energie sich fortzubewegen. Ich kam auf die Idee, als ich nach einem Aprilscherz suchte. Meine Idee: Die NASA entwickelt einen neuen Antrieb für zwei geplante Raumsonden zu Uranus und Neptun. Um diese in annehmbarer Zeit erreichen zu können, braucht man schnelle Bahnen die zur Folge haben, dass man beim Ziel stark abbremsen muss. Dafür gibt es einen neuen Antrieb, der die Wärmeenergie der RTG nutzt, um Wasserstoff aufzuheizen und diesen durch eine Düse zu expandieren.

Als ich mir bei meinem täglichen Spaziergang das Konzept durchdachte, dämmerte mir, dass es zumindest technisch möglich wäre und damit sich nicht als Aprilscherz eignet. Zeit sich damit zu befassen. Im Prinzip funktionieren auch nukleare Antriebe nach demselben Prinzip wie chemische Antriebe: Es wird in der Brennkammer ein heißes Gas erzeugt, das durch eine Düse expandiert wird. Bei einem chemischen Antrieb kann man recht hohe Temperaturen erzeugen, weil das Gas nur die Brennkammerwand berührt und diese kann gekühlt werden. Bei einem nuklearen Antrieb kommt die Wärme von einem Kernreaktor oder in meinem Fall von einem RTG. Die Temperatur ist so begrenzt (es sind theoretisch Gaskernreaktoren denkbar, bei denen das radioaktive Material verdampft, doch praktisch möglich sind heute nur Reaktoren, bei denen das Material fest bleibt. Eine bisher erreichte Maximaltemperatur ist so etwa bei 2700 K, etwa 1000 K niedriger als beim chemischen Antrieb. Trotzdem ist die Ausströmgeschwindigkeit höher, weil diese auch von der Molekularmasse abhängt. Da diese Antriebe nur Wasserstoff einsetzen, sinkt die Molekularmasse von 18 (Wasser als Endprodukt der Verbrennung von LOX/LH2) auf 2 ab. Das kompensiert die niedrigere Temperatur mehr als ausreichend. Bei einer Temperatur von 2700 K sollte so ein experimenteller Reaktor eine Ausströmgeschwindigkeit von 7450 m/s aufweisen.

Nun kann man auch mit Plutonium-238, dem Treibstoff der RTG Wasserstoff erhitzt. Reines Pu-238 glüht rot. Es gibt pro Gramm 0,54 Watt an thermischer Energie ab und heizt sich bis auf 1050 °C auf. Vergleicht man die 1323 K (1050 °C) mit den 2700 K des NERVA-Experimentalreaktors, so ist der spezifische Impuls geringer. Meiner Berechnung nach unter Anwendung der allgemeinen Gasgesetze 5583 m/s. Allerdings ist die Aufgabenstellung eine andere. Ein nuklearer Reaktor darf sich nur soweit erhitzen, dass er nicht schmilzt, dagegen sind die 1050 °C, die Pu-238 ohne Kühlung erreicht, weit unterhalb der Schmelztemperatur. Da Gas viel weniger Wärme an den Feststoff abgibt, als dieser an das Gas abgibt, kann man das Gas länger erhitzen auf eine Temperatur oberhalb der Temperatur des Pu-238. Das hat man auch mit Polonium-210 untersucht, das durch eine kürzere Halbwertszeit sich noch stärker erhitzt auf 1850 K, also noch etwas höher und erreicht so eine Ausströmgeschwindigkeit von 7300 m/s. Interpoliert man dies unter Anwendung der idealen Gastheorie auf 1323 K, so erhält man eine Ausströmgeschwindigkeit von 6173 m/s.

Das Schöne daran ist - im Gegensatz zu Ionentriebwerken nutzt man die thermische Energie, die bei den gängigen RTG 94% der Gesamtenergie ausmacht. Zwei GPHS-RTG liefern z. B. 570 Watt elektrische Energie und 8800 Watt thermische Energie. Bei vollständiger Übertragung auf den Wasserstoff würde man so 1,66 kg Treibstoff pro Stunde verbrauchen. 1000 kg Treibstoff wären so in 25 Tagen verbraucht. Dieser Antrieb wäre damit nicht nutzbar, um in eine Umlaufbahn einzuschwenken (schnelle Geschwindigkeitsänderung), aber um die Differenz abzubauen. Auf einer schnellen Bahn zu Uranus kommt man nach 10 Jahren Reisezeit mit rund 7,6 km/s Überschuss an. Will man außerhalb der Außenkannte des Ringsystems in 61.000 km Entfernung von den Wolken bleiben so muss man selbst bei einer elliptischen Bahn um 2400 m/s abbremsen. Kann man die Überschussgeschwindigkeit reduzieren, so wird dies deutlich günstiger. Bei Neptun wären es bei ebenfalls 10 Jahren Reisedauer von 11,5 km/s Überschussgeschwindigkeit und diese würden, um sie mit chemischem Antrieb abzubremsen doch viel Treibstoff erfordern.

Warum es das Ganze trotzdem nicht gibt? Nun es gibt einige Gegenargumente. Das Erste ist der Treibstoff Wasserstoff. er braucht voluminöse Tanks. Nimmt man das Flächengewicht der bisher leichtesten Tanks des Space Shuttles, Shuttles so wiegen diese mehr als ein Zehntel des Inhalts. Solange man in Sonnennähe ist, muss man den Wasserstoff wieder in den flüssigen Zustand bringen, man braucht also eine effiziente Kältemaschine. Hat man das innere Sonnensystem verlassen, so sinken die Anforderungen. Ab einer bestimmten Entfernung reicht vielleicht die Abschattung der Sonde aus, um den Treibstoff kühl zu halten den der Weltraum ist 3 K "kalt", kälter als der Verdampfungspunkt von Wasserstoff.

Das Hauptgegenargument ist aber energetischer Art. Es ist viel günstiger im Schwerefeld eines Planeten die Geschwindigkeit zu vernichten, als langsam im Vorfeld, vor allem bei den Riesenplaneten. Die 7,5 km/s sind bei Uranus vernichtbar, wenn ein chemischer Antrieb 2,4 km/s liefert. Das reicht aus, um in eine 61.000 x 4 Millionen km Bahn einzuschwenken. Bei Neptun kann man nicht näher als 63000 km ans Zentrum kommen, wenn man dem Ringsystem ausweichen will. Dann muss man schon 4,6 km/s abbauen. Da bleibt selbst von anfangs einer schweren Sonde wenig übrig, das reine Nutzlastmasse ist. Hier wäre dieser Antrieb von Vorteil. Zumal man ihn ja schon nahe des Neptun betrieben kann und so ein bisschen seine Gravitationskraft ausnutzen kann.

Als weiteres Gegenargument gibt es den Sicherheitsaspekt: RTG bestehen aus kleinen Plutoniumpellets, die mit mehreren Schichten umhüllt sind. Das schützt sie auch bei einem Unfall. Demgegenüber sollte ein solcher Antrieb eine hohe Kontaktfläche mit dem Gas aufweisen, das heißt eine mehr oder weniger "löchrige" Struktur. Man konnte dann zwar die ganze Brennkammer mit dem RTG mit einem Schutzschild umgeben, doch der wäre viel schwerer als der heutige bei den GPHS, da er ein viel größeres Volumen umhüllen muss.

Natürlich gäbe es andere Wärmequellen. Man hat ja schon Alternativen zum Pu-238 gesucht. Das ist extrem teuer in der Herstellung. Es gibt andere Isotope mit Halbwertszeiten von einigen Jahrzehnten, die man nutzen könnte, wobei eine kürzere Halbwertszeit mit mehr Wärmeproduktion einher geht. Doch alle Alternativen haben Strahlenprobleme.

In der Summe: Es ist technisch möglich, aber es gibt genügend Gegenargumente, die den Nutzen insgesamt doch fraglich werden lassen.

20.3.2016: Erde, Mars und Venus als Sprungbretter im Sonnensystem

Wenn man an Gravity Assist oder Swing-By denkt, dann sicher an die klassischen Reisen von Voyager, vielleicht auch Mariner 10. Seit Galileo jedoch nicht mehr direkt zu Jupiter gelangen konnte sind Vorbeiflüge an den inneren Planeten die Regel. Heute will ich mal Venus und Mars als Sprungbrett untersuchen. Fangen wir mit dem Mars an.

Mars ist kein so attraktives Ziel, wenn man die Beschleunigung als Maßstab nimmt. Er ist nach Merkur der zweitleichteste Planet und da der "Schubs" den er verleiht von der Masse und Passage Distanz abhängen ist er so nicht so alterativ wie Venus, Erde oder gar Jupiter. Aber Mars hat andere Vorzüge. So ist er der einzige Planet der Auf dem Weg von der Erde zu Jupiter liegt. Nur er kann also eine Reise dorthin beschleunigen, will man nicht einige Extrarunden drehen. Bisher gab es zwei gezielte Vorbeiflüge an Mars um Geschwindigkeit aufzunehmen: einmal durch Dawn und einmal durch Rosetta. zuerst betrachte ich mal die Nützlichkeit um Jupiter zu erreichen.

Grafik 1Wenn ich Jupiters Entfernung zu 778 Millionen km annehme und aus 150 Millionen km Entfernung aus starte so brauche ich eine solare Geschwindigkeit von 38522 m/s um diese Distanz zu erreichen. Das entspricht wenn man von einer 186 km hohen Erdbahn aus startet, einer Mindestgeschwindigkeit von 14118,3 m/s relativ zur Erdoberfläche. Passiert man Mars in 227,5 Millionen km Entfernung so reduziert sich die solare Startgeschwindigkeit von 38522 auf 37.600 m/s. Das klingt nach viel, doch aufgrund der Tatsache das man von der Erde aus startet, spart man nur knapp 500 m/s ein - 13516 m/s als Startgeschwindigkeit. Das klingt nach wenig, doch bei Hochenergiemissionen mit ihrer starken Nutzlastabnahme durchaus eine Größe die man gerne mitnimmt. Bei Galileo war die Passage des Mars beim 1982-er Startfenster geplant. Es hätte die Nutzlast von 2380 auf 3340 kg angehoben. Das resultiert neben der Geschwindigkeitseinsparung auch darauf das neben dem 2380 kg schweren Galileo auch die 2970 kg schwere Centaur auf die Erdbahn kommt, alle Nutzlastgewinne aber nur der Sonde zugute kommen. Heute wären es auf einer Atlas 551 als Träger 1912 zu 2510 kg, also auch ein deutlicher Gewinn. Für Galileo wichtiger war, dass man so Treibstoff bei der Centaur einsparen konnte und damit lag diese Mission nicht mehr an der Nutzlastgrenze der Orbiter. Galileo wäre in der Originalmission nur von Discovery und Atlantis startbar gewesen, für alle anderen Orbiter war die Kombination Centaur und Sonde mit zusammen fast 27 t Startgewicht zu schwer.

Der wichtigste Vorteil von Mars ist aber seine Umlaufszeit: Alle 26 Monate gibt es ein Startfenster von der Erde zum Mars. Zu Jupiter gibt es eines alle 398 Tage, also 13 Monate. Das bedeutet: Alle zwei Jahre wiederholt sich ein gemeinsames Startfenster von Mars und Jupiter und Mars steht als Sprungbrett zur Verfügung. Zum Asteroidengürtel braucht man eine kleinere Geschwindigkeit. Mit einer Marspassage müsste man direkt zu Ceres (411 Mill. km) mit 34790 m/s solarer Geschwindigkeit starten (12108 m/s von der Erdoberfläche aus). Ohne Vorbeiflug wären es 37606 m/s bzw. 12711 m/s. Mars liefert so relativ unabhängig von der Distanz einen Geschwindigkeitsgewinn von etwa 600 m/s.

Venus ist dagegen das Sprungbrett zu Merkur. Das ist logisch, denn auch hier liegt Venus auf dem Weg.  Bisher erfolgte das immer mit mehreren Vorbeiflügen. Meinen Simulationen zufolge sollte es aber auch mit einem klappen, wenn man mit etwas Überschussgeschwindigkeit startet. Mit 11467 m/s aus der Erdbahn (26.666 m/s Solar) und 570 km Passagedistanz verringert ein Venusvorbeiflug das Perihel von 100 auf 64 Millionen km Entfernung. Damit wäre man mit einem Vorbeiflug bei Merkur und würde nur wenig mehr Geschwindigkeit (160 m/s) benötigen um zu Venus (108,4 Millionen km) aufzubrechen.

Viel öfters nutzt man die Venus als Sprungbrett zu Jupiter, so Galileo, Cassini und auch JUICE wird diesen Weg einschlagen. Hier sieht man auf den ersten Blick keinen Nutzen, denn man muss um die Venus zu erreichen etwa 3 km/s relativ zur Sonne vernichten. Sicher, der Vorbeiflug bringt nun weitere Geschwindigkeit, aber man hätte ja auch gleich die 3 km/s zur Bahngeschwindigkeit addieren können und erreicht so schon fast den Mars. In der Tat zeigen Simulationen, das man fast das gleiche Aphel erreicht, wie wenn man die gleiche Geschwindigkeit beim Start nicht gegen sondern in der Bahngeschwindigkeit addiert hätte. Wenn ich mit 26500 m/s solar starte (11581 m/s von der Erde aus, erreiche ich ein Aphel von 243 Millionen km. Um diese Distanz mit einem Manöver in Bahnrichtung zu bekommen rauche ich nur 11529 m/s. Auch zeitlich spare ich nichts ein. In 284 Tagen habe ich das Aphel erreicht, beim direkten Start sind es 274 Tage.

Was ist also der wesentliche Nutzen? Der Nutzen liegt bei einem späteren Erdvorbeiflug. Die Venus ist meist nur die erste Etappe, alle folgenden Vorbeiflüge finden an der Erde statt und sie sind himmelsmechanisch dann einfach: die Sonde nähert sich immer dann der Erde, wenn ihre Umlaufszeit  ein gemeinsames Vielfaches der Erdumlaufszeit ist. Die einfachste Möglichkeit ist es so beim Start eine elliptische Umlaufbahn einzuschlagen die nach 1 Jahr die Erde wieder kreuzt.. Dies tat z.B. Near. Doch die Relativ Geschwindigkeit ist dann gering und der Beschleunigungseffekt klein. Erreiche ich dagegen bei der Venuspassage ein Aphel von 185 Millionen km Entfernung so braucht man nach der Passage 261 Tage um wieder die Erdbahn zu kreuzen, 104 tage brauchte man um Venus zu erreichen, zusammen also 365 Tage - genau ein Jahr.  Man kreuzt erneut die Erdbahn, diesmal aber mit wesentlich höherer Geschwindigkeit als beim Start. Leider aber nicht an der richtigen Position wie die Grafik zeigt. Daher haben Raumsonden die diese Strategie verfolgen Treibstoff an Bord bei denen sie die Bahnen nach dem Swing-By korrigieren denn sonst müsste man zu lange warten bis die Erde wieder in der richtigen Position ist.  Die Abbildung zeigt so eine Bahn: rot der Weg der Sonde in einem Jahr, dunkelblau die Erdbahn, hellblau die Venusbahn und Türkis/lia die Bahnellipsen vor und nach der Venuspassage (jedoch nicht korrekt gedreht). Passiert man nun die Erde kann man erneut Geschwindigkeit aufnehmen und zwar wegen der höheren Relativgeschwindigkeit noch mehr. Die zweite Abbildung zeigt eine Erdpassage nach der ersten Bahn, nun erreicht man schon ein Aphel von 371 Millionen km Entfernung, dafür hätte man mit 12556 m/s von der erde aus starten müssen.

Grafik 2Für die Erde selbst ist es relativ einfach: die besten Möglichkeiten sind Bahnen die nach 2,3,4,5 Umläufen ein ganzzahliges Vielfachen der Umlaufszeit der Erde haben so 1,5 Jahre (2x 1,5 = 3), 2 Jahre oder 2,5 Jahre:

Startgeschwindigkeit Solare Startgeschwindigkeit Aphel Umlaufszeit
11028 m/s (Fluchtgeschwindigkeit) 29.785 m/s 149,6 Mill. km 1 Jahr
11527 m/s 33117 m/s 242 Mill. km 1,5 Jahre
12148 34861 m/s 325 2 Jahre
12665 35952 m/s 401 2,5 Jahre
13031 36710 m/s 472 3 Jahre
14105 38583 m/s 778 5 Jahre, 168 Tage

Der Letzte Eintrag ist für Jupiter, der erste zum vergleich die reine Fluchtbahn, d.h. die Sonde umkreist die Sonne auf einer Bahn #ähnlich der erde.. Man kann also wenn man eine Sonde erst mal auf eine Bahn mit 1,5 Jahren Umlaufszeit schickt nach 3 Jahren erneut die erde passieren und Geschwindigkeit aufnehmen. Man könnte sie dann auf eine 2, 2.5 oder gar 3 Jahresbahn schicken und bei einem weiteren Vorbeiflug erneut Geschwindigkeit aufnehmen. In der Literatur wird ein Geschwindigkeitsgewinn von maximal 3-4 km/s durch Erdvorbeiflug genannt. Man bräuchte für die Reise zum Jupiter also mindestens zwei, eventuell drei Vorbeiflüge.

Ich habe es mal durchgerechnet. Zuerst wird die Sonde konventionell auf eine 1,5 Jahresbahn geschickt. Nach 3 Jahren passiert sie die Erde das erste Mal. Tut sie dies in 730 km Entfernung von hinten kommend (in der Bahnrichtung so resultiert eine neue Bahn von 148,9 x 403,06 Millionen km - die Halbachse beträgt 276 Millionen km und damit ist das eine Bahn mit einer Umlaufszeit von 2 Jahren 185 Tagen. Nach 5 Jahren kommt die Sonde erneut zur Erde. Sie muss diesmal die Erde nur in 13176 km Entfernung passieren um eine Bahn von 147,3 x 780,1 Millionen km zu gelangen.

Der Nachteil: Man ist so 3 + 5 Jahre + 2 Jahre 220 Tage also fast 9 Jahre unterwegs. Es geht schneller. Leider nicht indem man zuerst eine 2 Jahresbahn anstrebt, die Geschwindigkeitsdifferenz ist dann doch zu hoch. Je nach Erdenttfernung bei der Passage kommt man so maximal auf ein Aphel zwischen 550 und 575 Millionen km. Aber man kann von der Erde aus in eine 2 Jahres Bahn, dann durch Swing-By in eine 3 Jahresbahn und dann zu Jupiter gelangen. Das dauert dann noch 71/2 Jahre. Dafür müsste man allerdings mit 12148 m/s von der Erde aus starten, deutlich mehr als zur Venus.

Man erkennt nun den Nutzen des Venus Swing-Bys. Es erspart die erste Runde um die Sonne, daneben ist von Vorteil dass nun das Perihel niedriger liegt. Bahnen bei denen man den Planeten nahe des Aphels oder Perihels passiert drehen eher die Bahn als dass man viel Geschwindigkeit gewinnt, weil der Einfaltswinkel klein ist.

Was übrigens der Erde recht ist, ist der Venus billig. Starte ich mit 11480 m/s von der Erde aus, das wäre im Normalfall eine Ellipse die bis auf 99,2 Millionen km an die Sonne heranführt und passiere ich die Venus in 1126 km Entfernung so erhalte ich eine 108,3 x 235,8 Millionen km Bahn, die führt in 2 Venusjahren (486 Tagen) wieder zur Venus. Dann kann man die Erde passieren. Mehr als zwei Venuspassagen nutzen nicht so viel, weil durch die sonnennähere Position das dV zu Jupiter noch größer als bei der Erde ist. Man bräuchte mindestens vier Passagen um Jupiter zu erreichen (nach der dritten wäre man erst bei einer 3 Venusjahresumlaufbahn in maximal 342 Millionen km Entfernung angekommen, selbst nach der vierten liegt das Aphel erst in 600 Mill km Entfernung, eventuell kann man mit etwas anderen Startbedingungen noch etwas herausholen).

Saturn machte fast das Optimum, auch hier zwei Venus-Flybys nach 486 Tagen, dann die Erde. Damit die Planeten so gut stehen musste man den Kurs unterwegs mit 542 m/s ändern. Akzeptiert man dies, so kann man wie Cassini auch nach etwas mehr als 4 Jahren bei Jupiter ankommen. Habe ich den Treibstoff für solche dV Manöver so kann man diese Zündung auch bei der Passage eines Planeten machen. je schneller man beim planetennächsten Punkt ist, desto besser, denn nach dem Energieerhaltungssatz ist es ein Unterschied ob ich bei einer Geschwindigkeit von 10 km/s um 0,5 km/s beschleunige oder bei 15 km/s. Im einen fall bleiben nach Verlassen der Einflußsphäre 3,2 km/s übrig, im zweiten 3,9 km/s.

Das ist der letzte Trick: Man kommt mit lediglich einem Swingby aus, wenn man von der Erde aus in eine 2-Jahres Bahn startet, dann bei der Passage der Erde in 3000 km Entfernung die Sonden durch ein Triebwerk um 1050 m/s beschleunigt. Zusammen mit den 12148 m/s für die Startbahn kommt man so mit 13198 anstatt 14105 m/s zu Jupiter - wenig gespart, aber dafür nach weniger als 4 1/2 Jahren angekommen.

Die Falcon 9 Stufenmassen - ein zweiter Ansatz

Ich hatte eigentlich vor heute mal was über Venus/Erde/Mars als Swing-By Sprungbrett zu schreiben, aber ich habe das heute mal verschoben. Ich habe im letzten Beitrag ja mal versucht die Stufenmassen der Faclon 9 zu rekonstruieren unter der Prämisse, das die angaben von Elon Musk über die Strukturfaktoren richtig sind. Offiziell gibt es ja nur die im Beitrag schon wiedergegebenen Angaben, inoffiziell wird von Nutzlasteinbußen von 15% bei Seebergung und 30% bei Festlandbergung gesprochen, die bei den Angaben schon berücksichtigt seien. Auch da gibt es einige Fragezeichen, so ist die Nutzlasteinbuße abhängig von der Bahn - sie ist bei GTO-Bahnen höher als bei LEO und es ist auch offen ob man mit GTO-Nutzlasten überhaupt eine Landbergung angeht, sondern nur mit LEO-Nutzlasten weil selbst die Dragon und alle Satelliten viel kleiner als die Maximalnutzlast sind.

Außerdem will ich mal sehen obs wirklich 30% mehr Nutzlast sind, wenn ich diesselben Parameter für die V1.1 ansetze. Ich hatte mal ohne Rechnung auf 8% mehr Nutzlast getippt. Klakows ansatz war der dass man die Abtrenngeschwindigkeit aus dem Video nimmt und dann errechnet was die Oberstufe noch leisten muss. Dazu kann man einen ergänzenden Beitrag von Elon Musk über typische Abtrenngeshcwindigkeiten bei Bergungen nehmen. Damit kann man die Oberstufenmasse berechnen. Die Unterstufenmasse ist schiweiger, sie ist aber nicht kritisch, vor allem nicht wenn man Tonnen von Treibstoff in den Tanks für die Bergung zurücklässt.

Sammeln wir also erst mal Informationen - In diesem Artikel gibt es folgende:

Die Erststufe spepariert Oberstufe+Nutzlast von 125 t Gewicht bei 8000 km/h bei Ozeanlandung

Die erststufe erreicht 5000 km/h beei Landbergung

Das Startvideo zeigt das Erlöschen der Erststufentriebwerke bei 159 - 160 s (159: Erlöschen der Tribwerke, durch restsschub noch bis 160 s Beschleunigung) und eine Trennung bei 8300 km/h.

Die letzte Angabe scheint relativ zum Erdboden die horizontale Geschwindigkeit zu sein, wenn man die anderen Angaben sieht. Das sind Fakten mit denen man rechnen kann. Nehmen wir erst mal den SES-9 Start. 8300 km/h entsprechen 2305 m/s. Unter Berücksichtigung der Erdrotation hat der Orbit von 332 x 40615 km einen Geschwindigkeitsbedarf von 9788 m/s.

Allerdings wird die Oberstufe nicht nur die Horizontalgeschwindigkeit aufbauen in den 430 s Betriebszeit würde sie sonst um 900 km absinken, und so hoch wird sie die erste Stufe nicht beschleunigen. Das frei verfügbare rocjet Analyssis Too geht bei Oberstufen von einer Neigung von 10 Grad zum Horizont aus um das Absinken zu verhindern. So werden nur cos(10) des Schubs in Horizontalrichtung wirken, oder man braucht eine Zielgeschwindigkeit von 1/cos(80)*9788 = 9939 m/s. Davon zieht man die Abtrenngeschwindigkeit von 2305 m/s ab. Zielgeschwindigkeit ist also 7634 m/s

Nun kann man mit dem schon im ersten Teil errechneten Treibstoffmenge von 106,2 t Treibstoff, dem Spezifischen Impuls von 3413 m/s und dem Gewicht des Satelliten (zwischen 5270 und 5330 kg, ich nehme die höhere Angabe und nehme an das diese mit Adapter ist) das Trockengewicht nach der Raketengrundgleichung berechnen, wenn man diese etwas umformuliert.

Aus der Zielgeschwindigkeit und dem spezifischen Impuls lässt sich ein Voll/Leermasseverhältnis von 9,36 beim Start der Stufe 2 errechnen. zieht man davon 1 ab so hat man den Teiler Treibstoffmasse/trockenmasse, also 8,36. Teeilt man nun 106,2 t Treibstoiff durch dies so kommt man auf 12.700 kg. Davon 5330 kg abgezogen so ist man bei 7370 kg, also erheblich mehr als meine optimistische Berechnung. Es können noch einige Hundert Kilogramm weniger sein, wenn der Adapter nicht mit dabei ist (ytpsich 70-100 kg Gewicht) und die Nutzlastverkleidung wird auch erst später abgetrennt, schlägt aufgrund der Abtrennung aber nicht voll mit ihrem Gewicht durch.

Nähern wir uns von einer anderen Perspektive. Elon Musk sprach von 125 t Abtrennmasse bei Seelandung. Das ist zu diesem Zeitpunkt die Nutzlast, Nutzlastverkelidung und Oberstufe. Bei GTO-Missionen liegt diese bei 4,85 t, 2 t kann man für eine Nutzlastverkelidung ansetzen, 106,2 t Treibstoff gibt es noch. Das lässt 11,95 t übrig, was noch höher ist. Nimmt man die LEO-Nutzlast von 13,15 t so sind es noch 3,65 t. Das ist also nicht brauchbar solange man nicht weiß mit welcher Nutzlast die angabe assoziert ist.

Die Abtrenngeschwindigkeiten kann man baer nutzen. Inoffiziell (ci greife hier mal darauf zurück) soll ja die Bergung auf See 15% Nutzlast kosten und die an Land 30% Nutzlast. Was man nun tun muss ist nur eine Rakete modellieren und die Abtrennmasse der ersten Stufe nach und nach erhöhen bis sie bei 3000 km/h (833 m/s) niedriger Geschwindigkeit abgetrennt wird. Dadurch muss man sich auch nicht um die Trockenmasse der ersten Stfue kümmern denn diese geht im Resttreibstoff unter. Nun variiert man die Stufentrockenmasse der zweiten Stufe bis 15% mehr Nutzlast herauskommen. Ich habe das für den GTO getan, da dieser sensibler für Änderungen ist. Das Ergebnis ist ernüchternd: 15& Nutzlasteinbuße entsprechen schon bei den niedrigen Strukturfaktoren von SpaceX einer 317 m/s geringeren Abtrenngeschwindigkeit. Also das ganze dann mut LEO ausprobiert. Hier ist das Ergebnis mit 200 m/s sogar noch schlechter. Mit den niedrigen Struklturfaktoren von SpaceX kommt man nicht auf diese Differenzen. Also mal mutig höhere Strukturfaktoren (24,3 / 5,3 t Trockenmasse) angesetzt - schon steigt der S Untershcied bei LEO auf 512 m/s. Bei GTO bleibt es dagegen bei 160 m/s.

Das ist ein grundsätzliches Problem, das bei praktisch allen Berechnungen mit der Falcon 9 aufkommt, das jeder auch mal selbst probieren kann: Ma nehme irgendwelche Werte für die Stufenmassen an und berechne dann die theoretische endgeschwindigkeit mit 13,15 t Nutzlast für den LEO. Die Differenz zum LEO (7802 m/s) nehme man und nun macht man dasselbe mit 4,85 t Nutzlast für den GTO - die Differenz sollte ähnlich hoch sein (100 m/s als Untershciecd kann es geben, da die Geschwindigkeitsbeiträge derr stfuen nun unterschiedlich ist und auch die gravitationsverluste) sie ist es baer nicht. Nehme ich z.B. die theoretischen Strukturfaktoren von 30 und 25 und 30% Zuschlag bei der Nutzlast (für die ergung) so hat der GTO ein zusätzliches DV von 2048 m/s, der LEOeines von 2248 m/s. Das ist deutlich mehr als die Differnez bei anderen Trägern.

Nachdem ich mich mit den best-Case Szeanrien herumgeschlagen habe nun mal zum Worst-Case Szeanrio. Man nimmt dazu einfach an, das die Falcon 9 aufgrund gleicher Technologie und zweistufiger Bauweise dassselbe dV wie die Falcon 1 erreichen muss. Deren Daten sind bekannt und wenn man nun die Massen von 17095 kg / 6305 kg (SpaceXAngabe + 30%) ansetzt kann man die Stufenleermassen solange varieren bis das dv von 1663 m/s der Falcon 1 herauskommt. Wenn man das dann iterativ macht und den Wert mit der geringsten Abweichung nimmt kommt man je nach Annahme für die Erststufe auf leicht unterschiedliche Trockenmassen:

Annahme: Ersttsufe 13,13 t Trockenmasse (Strukturfaktor: 30): Oberstufenleermasse: 6,1 t

Annahme Ersttsufe 20,02 t Trockenmasse (Ergebnis letzter Block): Oberstufenleermasse5,6 t

Annahme Erststufe 26 t Trockenmasse (Weost case): Oberstufentrockenmasse 5,3 t

Die Logik ergibt sich daraus, dass die Oberstufe natürlich immer schwerer seind arf, wenn die Unterstufe leichter ist, wie man sieht ist der Effekt aber nicht sehr groß.


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