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Tanks und die Abmessung einer Rakete

Das heutige Thema ist nicht neu. Niels hat es schon mal mathematisch genau hier im Blog diskutiert. Doch da ich nicht Mathematik studiere, denke ich ist ein praktischer Ansatz vielleicht eine gute Ergänzung. Es geht um Tanks, und da sie das meiste Volumen einer Rakete ausmachen, die Form einer Rakete. Raketen können unterschiedliche Formen haben, von eher gedrungen wie die Jupiter, bis hin zu sehr schlank wie die Falcon 9, Scout oder SLV. Wenn ich mal die Feststoffraketen (eben Scout und SLV) ausklammere, weil bei ihnen andere Konstruktionsprinzipien zur Anwendung kommen, werden die meisten Raketen in ihrer Größe von den Tanks bestimmt. Bei einer ersten Stufe machen sie problemlos 4/5 der Länge aus. Bei oberen Stufen wegen der kleineren Tanks und auch wegen der längeren Triebwerken (durch die längeren Expansionsdüsen) natürlich weniger.

Tanks und ihre Form

Lange Zeit war es so das bei neuen Trägern die Gesamtlänge (mit Oberstufen und Nutzlastverkleidung) etwa das 10 bis 12-fache das Basisdurchmessers betrug. Beispiele dafür sind die Saturn V, Titan II, Atlas Centaur oder Ariane 1. Wenn die Rakete verlängert wurde, so verschiebt sich das natürlich, da der Basisdurchmesser gleich bleibt.

Im Wesentlichen wird dieses Verhältnis von den Tanks bestimmt. Zeit das einmal zu beleuchten. Die Wandstärke eines Tanks kann man nach der Kesselformel berechnen. Die Kesselformel gilt für Druckgastanks, doch sie gilt auch für Tanks für Flüssigkeiten. Zum einen üben die Flüssigkeiten auch einen Druck aus – Kerosin und Sauerstoff haben eine Dichte leicht unterhalb und oberhalb von Wasser – und eine 10 m hohe Wasserschicht übt einen Druck von 1 bar aus. Zum Zweiten stehen die Tanks auch unter Druck. Sie werden nicht zu 100 % gefüllt und das restliche Volumen wird mit Druckgas gefüllt, das bei Tankentleerung ergänzt wird. Es wird immer ein leichter Überdruck aufrechterhalten auch bei ohne Innendruck stabilen Tanks. Er liegt bei etwa 0,5 bis 3 Bar Überdruck.

Die Kesselformel zeigt das es einen linearen Zusammenhang gibt zwischen den folgenden Größen

Daraus ergibt sich, dass ein Tank bei gegebenem Druck und Materialkonstante immer einen bestimmten Prozentsatz des Inhalts wiegt. Denn bei doppeltem Durchmesser wird auch die Wandstärke doppelt so hoch, zusammen mit der Oberfläche, die im Quadrat ansteigt, ergibt sich eine Steigerung des Gewichts des Tanks in der dritten Potenz, analog wie das Innenvolumen, in der dritten Potenz ansteigt. Natürlich gibt es bei ganz dünnen Wandstärken noch andere Einflussgrößen, die dann beherrschend werden. Doch bei Tanks mit einem Durchmesser von 1 m und mehr, wovon wie jetzt reden, spielen diese keine Rolle.

EPS OberstufeDie Kesselformel unterscheidet zwei Fälle. Das eine ist die Zylinderwand und der Zweite ist der Abschluss, ein Kugelschnitt, im einfachsten Fall eine Halbkugel. Bei gegebenen anderen Größen ist bei einem Tank in Kugelform immer die Wandstärke halb so groß wie bei einem Zylinder.

Daraus ergibt sich als Folgerung, das der optimalste Tank ein Kugeltank ist, wie er z.B. auch für Erdgas für Lagerung und Transport genutzt wird. In der Raketentechnik ist eher jedoch seltener. Er findet Anwendung bei Satelliten und teilweise bei Oberstufen, wie der EPS der Ariane 5 in dieser Abbildung zu sehen. Der einzige Einsatz bei einer Großrakete ist bei der N-1 bei der alle ersten drei Stufen Kugeltanks hatten.

Der offensichtlichste Nachteil von Kugeltanks ist, das man sie schlecht stapeln kann. Die N-1 zeigt das; man musste die Kugeltanks durch ein Gitterrohrgerüst verbinden. Ebenso findet man sie nur deswegen bei Oberstufen, weil man so die Kugeltanks in einem Ring um das Triebwerk herum anordnen kann. Bei Satelliten, wo er sich sowieso innerhalb es Satellitenkörpers befindet, ist die Form auch kein Nachteil.

Wenn der Durchmesser der Oberstufe gleich bleibt wie bei der Basisstufe, ist ihre Treibstoffzuladung bei Kugeltanks gering. Eine Kugel hat nur 2/3 des Volumens eines Zylinders mit demselben Durchmesser und derselben Höhe. Dann muss man sie zwar auch noch außen mit einer Hülle umgeben doch die ist klein. In Russland verwendet man dagegen ringförmige Tanks bei Oberstufen.

So ist der Zylinder mit einem Abschluss eines Kugelschnitts die heute gängigste Form. Doch welches ist die optimale Form. Ein Zylinder kann lang und mit geringem Durchmesser sein wie eine Makkaroni, oder kurz und mit größtem Durchmesser wie ein Damespielstein sein. Welches ist die optimale Form. Nun es ist die mit der bei einem gegebenem Volumen minimalen Oberfläche. Das Ist ein Problem einer Fragestellung, die mir noch in der Schule unterkam und damals "Minimum-Maximum Problem" hieß, und läuft im Wesentlichen auf die Ableitung der Formeln für Volumen und Oberfläche eines Zylinders heraus. Ich präsentiere nur das Ergebnis: Der Zylinder mit der kleinsten Oberfläche bei gegebenem Volumen hat eine Länge, die dem zweifachen Durchmesser entspricht. Ein Zylinder mit 1 m Durchmesser wäre also 2 m lang wenn er das beste Verhältnis von Oberfläche zu Volumen haben soll.

Treibstoffe und ihre Dichte

Nun benötigt man aber zwei Treibstoffe. Und die haben zum einen meist nicht die gleiche Dichte, sondern auch ein vorgegebenes Mischungsverhältnis. So sind Tanks üblicherweise nicht gleich groß. Eine Ausnahme ist die Kombination NTO mit MMH oder der 50:50 Mischung von Hydrazin und UDMH. Bei einem Verhältnis von 1,6 zu 1, einem auch üblichen Verhältnis, sind beide Tanks genau gleich groß. Das nutzt man bei Satelliten aus, doch auch bei der Titan II und Ariane 1 waren die Erststufentanks aus diesem Grunde gleich groß. Bei anderen Treibstoffen ist das nicht gegeben. Ich habe mal für gängige Mischungsverhältnisse hier die relativen Volumina aufgeführt, bei der Oxidator (LOX, NTO) immer auf 1 gesetzt wurde:

Kombination

Mischungsverhältnis

Oxydatorvolumen

Treibstoffvolumen

LOX/Kerosin (Nebenstrom)

2,3

1

0,63

LOX/Kerosin (Hauptstrom)

2,6

1

0,43

LOX/Methan

3.5

1

1,28

LOX/LH2

5

1

3,35

LOX/LH2

6

1

2,80

NTO/Hydrazin

1,34

1

1,07

NTO/UDMH

1,86

1

1

NTO/Aerozin-50

1,6

1

1

NTO/MMH

1,64

1

1

Salpetersäure/UDMH

3

1

2

Man sieht das man bei den Kombinationen der lagerfähigen Treibstoffe durchaus Mischungsverhältnis findet bei denen die Tanks nahezu gleich groß sind. Diese liegen zwar nicht am Optimum (1,2 bei NTO/UDMH, 1,8 bei NTO/MMH und 2,3 bei NTO/UDMH) aber der spezifische Impuls ist nahezu gleich hoch. Bei der älteren Kombination Salpetersäure UDMH ergeben sich auch als Vorteil genau doppelt so gro0e Tanks.

Man wird in der Praxis daher einen der beiden Tanks auf die ideale Größe auslegen. Der andere ist dann kürzer oder länger. Bei Wasserstoff ist es in der Regel der Wasserstofftank, da er eine erheblich höheres Volumen hat. Ich nehme mal als Beispiel die Atlas D. Die Atlas hatte ein Tankvolumen von 70.870 l für den flüssigen Sauerstoff und 44.093 l für Kerosin. Bei der Atlas D wurden 34.900 kg Kerosin und 78.900 kg LOX geladen. Es handelt sich um einen Integraltank, der oben aber einen abnehmenden Durchmesser hat. Würde man 3,04 m Durchmesser nutzen (der Durchmesser beträgt 3,048 m, doch die Tanks haben natürlich noch eine Wandstärke so wäre der LOX-Tank bei Zylinderform 9,73 m lang und der Kerosintank 6,07 m. Mit Triebwerken, Tankabschluss und Stufenabschluss war dann die Atlas 21,40 m lang. In diesem Falle ist der Kerosintank ziemlich genau zweimal so lang, wie er breit ist - man sieht also man hat das obige Kriterium angewandt – wobei man berücksichtigen muss, dass man aus nachvollziehbaren Argumenten immer „gerade“ Zahlen haben will. Bei der Atlas war dies ein Durchmesser von 10 amerikanische Fuss = 304,8 cm.

Ariane 5 OberstufenZumindest früher, wegen der begrenzten Informationen kann ich zu aktuellen Trägern nichts sagen, hat man auch eine Eigenschaft ausgenutzt: Wie erwähnt übt der Tankinhalt auch einen Druck aus. Doch anders als bei einem Gas ist er nicht überall gleich. Er ist vielmehr unten durch die höhere Flüssigkeitsschicht höher als oben. Bei der Atlas aber auch Saturn V Erststufentanks, wurde die Wandstärke daher variiert. Sie war unten am höchsten, und nahm nach oben hin ab. Beim ersten Teststart für Mercury brach daher die Struktur in diesem Bereich. Als Folge erhielten die Atlas dann verstärkte Tanks.

Aus den absoluten Volumina, die man benötigt ergibt, sich auch eine Folge: hinsichtlich Volumina und Stufenhöhe ist die Kombination eines Treibstoffs mit hoher Dichte und LOX/LH2 besonders attraktiv. Das ergibt sich aus zwei Gründen. Zum einen ist es aus physikalischen Gründen so, das es günstiger ist mit Wasserstoff als Treibstoff die Oberstufe größer auszulegen, als wenn man die Kombination der Erststufe verwendet. Bei der Atlas hatte z.B. die Agena 6,8 t Masse, die Centaur 15,8 t. Zum Zweiten ergibt sich aus der niedrigen Dichte, die etwa dreimal niedriger als bei LOX/Kerosin ist, das die Oberstufe nicht so viel kleiner ist als die Erststufe. Das bedeutet auch, dass man den Durchmesser der Erststufe beibehalten kann und die Fertigungsanlagen dieser verwenden kann, ohne eine zu ungünstige Tankform (extrem kurze Tanks) zu erhalten. Bei der ersten Version der Atlas Centaur war so die Atlas 19,81 m lang und die Centaur 9,10 m, also knapp halb so lang, sie wog aber nur ein Achtel der Atlas.

Umgekehrt: Setzt man auf eine LOX/LH2 Stufe eine zweite LOX/LH2 Stufe, so erhält man relativ ungünstige Tankabmessungen wenn man den Durchmesser beibehält. Man kann dies deutlich bei diesem Schnittbild der Oberstufen von Ariane 4 und den beiden kryogenen Oberstufen für Ariane 5 sehen. Nur selten findet man den Fall, das man den optimalen, niedrigen Durchmesser beibehält. So bei der Atlas V. Dann hat man eine Nutzlastverkleidung, die entweder bei der 4 m Version einen höheren Durchmesser hat oder im Falle der 500-er Version dann die ganze Stufe umhüllt.

Tankdome

Die Tankdome sind Kugelsegmente und mathematisch wie diese zu behandeln. Von Bedeutung ist, das die Wanddicke sich nach dem Radius der Kugel und nicht nach dem des Segments richtet. Kombiniert man beide Faktoren so erhält man die minimalste Masse bei gegebenem Volumen wenn die Höhe des Tankdoms ~ 0,365 des Durchmessers ist. das sind 1,98 m bei 5,4 m Durchmesser. Eine Alternative die sich mehr nach dem Fertigungsaufwand orientiert strebt eine gleiche Wandstärke wie beim Zylinder an. Aufgrund der Kesselformel muss dann der Tankdom eine Halbkugel sein. Früher strebte man mehr das Optimum (möglichst geringes Tankgewicht) wozu dann auch unterschiedliche Wanddicken beim Zylinder gehörten (oben dünner als unten, da der hydrostatische Druck oben geringer ist). Heute legt man mehr wert auf eine kostengünstige Fertigung und nimmt dickere Wände in Kauf wenn man dafür die Werkstücke einfacher bearbeiten kann.

Integraltanks - das Optimum

Bei getrennten Tanks muss man sich für einen Treibstoff entscheiden für den man den Tank optimieren kann indem man Durchmesser und Höhe wählt. Bei einer Integraltank sieht dies anders aus. Hier gelten die Überlegungen für den gesamten Tank, nur die Position des Zwischenbodens variiert. Hier ist dann der Durchmesser des Zylinders immer doppelt so groß wie der Durchmesser und die Abmessungen sind nur von Treibstoffmasse und mittlerer Dicht abhängig. Hier die obige Tabelle nochmals für verschiedene Kombinationen: (Kugelschnitthöhe des Tankdoms = 0,7315 des Radius)

Kombination

Mischungsverhältnis

Dichte

Durchmesser für 100 t Treibstoff

Länge für
100 t Treibstoff
Masse wenn
HNO3/UDMH=1

LOX/Kerosin (Nebenstrom)

2,3

0,99

3,88 8,81 m 1,244

LOX/Kerosin (Hauptstrom)

2,6

1,03

3,83 8,70 1,203

LOX/Methan

3.5

0,826

4,12 9,36 1,498

LOX/LH2

5

0,324

5,62 12,77 3,804

LOX/LH2

6

0,350

5,48 12,45 3,526

NTO/Hydrazin

1,34

1,067

3,78 8,59 1,159

NTO/UDMH

1,86

1,120

3,72 8,45 1,103

NTO/Aerozin-50

1,6

1,157

3,68 8,36 1,068

NTO/MMH

1,64

1,106

3,74 8,50 1,122

Salpetersäure/UDMH

3

1,233

3,60 8,18 1

Evolution

Die obigen Ausführungen gelten natürlich nur für das Design einer Rakete. Oftmals wird im Laufe einer Entwicklung eine Rakete leistungsfähiger. Die Triebwerke werden im Schub gesteigert oder leistungsfähiger. Dann kann die Rakete natürlich leistungsfähiger werden. Es gibt nun mehrere Möglichkeiten diese mögliche Zusatzmasse zu nutzen. Eine ist es die Oberstufen zu vergrößern. So setzte Ariane 5 zuerst eine kleine Oberstufe (EPS) mit 11 t Masse ein, dann die größere ESC-A mit 19 t Masse und geplant war die ESC-B mit 34 t Masse. Normal ist allerdings das man einfach die Tanks verlängert. Sa sie aus Zylindersegnneten bestehen die miteinander verschweißt werden ist dies sehr einfach möglich. Ein Extrembeispiel ist die Falcon 9 die von 334 t Startmasse auf 549 t Startmasse stieg und dies bei gleichem Durchmesser. Die Länge verlängerte sich  von 478,1 auf 70,1 m, auch weil nicht nur die Erststufe sondern auch Zweitstufe verlängert wurde. Doch die Praxis der Verlängerung findet man auch bei anderen Raketen. Hier ein Vergleich von Erststufen verschiedener Raketen in der ersten und letzten Version:
Rakete Bei Indienststellung Letzte Version
Atlas 18,3 m 24,9 m
Ariane 1-4 18,4 m 28,4 m
Falcon 9 33,0 m 41,9 m
Thor 18,4 m 26,1 m